Question

[Ngọc Nguyễn]

Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D,E sao cho AD=DE=EB. Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC tại N. Gọi M là trung điểm của AN. a)Chứng minh rằng: Tứ giác DMCB là hình thang cân.

b)Gọi I là giao điểm của tia BN và tia DM. Chứng minh rằng MI=BC.

c)Chứng minh rằng Δ DCI cân.

d)Chứng minh rằng MI=3MD

Cần gấp ạ!!!

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Ta có: AD=DE(gt)

mà A,D,E thẳng hàng(gt)

nên D là trung điểm của AE

Xét ΔAEN có

D là trung điểm của AE(cmt)

M là trung điểm của AN(gt)

Do đó: DM là đường trung bình của ΔAEN(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DM//EN và \(DM=\frac{EN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: DM//EN(cmt)

EN//BC(gt)

Do đó: DM//BC(Định lí 3 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác DMCB có DM//BC(cmt)

nên DMCB là hình thang có hai đáy là DM và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang DMCB(DM//BC) có \(\widehat{DBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên DMCB là hình thang cân(Định nghĩa hình thang cân)

b) Ta có: DM//BC(cmt)

⇒MI//BC(I∈DM)

⇒\(\widehat{IMN}=\widehat{BCN}\)(hai góc so le trong)

Ta có: DE=EB(gt)

mà D,E,B thẳng hàng(gt)

nên E là trung điểm của DB

Xét hình thang DMCB(DM//BC) có

E là trung điểm của DB(cmt)

EN//DM//BC(cmt)

Do đó: N là trung điểm của MC(Định lí 3 về đường trung bình của hình thang)

Xét ΔNMI và ΔNCB có

\(\widehat{IMN}=\widehat{BCN}\)(cmt)

MN=CN(N là trung điểm của MC)

\(\widehat{MNI}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNMI=ΔNCB(g-c-g)

⇒MI=CB(hai cạnh tương ứng)

c) Xét tứ giác MICB có MI//BC(cmt) và MI=BC(cmt)

nên MICB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒MB=CI(Hai cạnh đối của hình bình hành MICB)

mà MB=CD(hai đường chéo của hình thang cân DMCB)

nên CI=CD

Xét ΔCDI có CI=CD(cmt)

nên ΔCDI cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

d) Ta có: \(DM=\frac{EN}{2}\)(cmt)

nên \(EN=2\cdot DM\)(1)

Xét hình thang DMCB(DM//CB) có

E là trung điểm của DB(cmt)

N là trung điểm của MC(cmt)

Do đó: EN là đường trung bình của hình thang DMCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

\(\Leftrightarrow EN=\frac{DM+BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\cdot DM=\frac{DM+BC}{2}\)

\(\Leftrightarrow DM+BC=4\cdot DM\)

\(\Leftrightarrow BC=3\cdot DM\)

mà BC=MI(cmt)

nên \(MI=3\cdot MD\)(đpcm)