Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\).
Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh \(\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\) (*)
Thật vậy:
(*) \(\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Từ đó: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}\)
Bạn xem lại chỗ \(\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2\) có phải \(\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+4\) không?
Nếu đúng thì tính được, còn ko thì bó tay
Ta có: \(xyz=4\Rightarrow\sqrt{xyz}=2\)
Thay vào biểu thức P thì được:
\(P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{xyz^2}}{\sqrt{zx}+\sqrt{xyz^2}+\sqrt{xyz}}\)
\(P=\frac{1}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}\)
\(P=\frac{1+\sqrt{y}+\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}=1\Rightarrow\sqrt{P}=1.\)
Vậy ...
Lời giải:
Đặt $(\sqrt{x}, \sqrt{y}, \sqrt{z})=(a,b,c)$. Khi đó:
$abc=\sqrt{xyz}=2$
$A=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{2c}{ca+2c+2}$
$=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{2c}{ca+2c+abc}$
$=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{ab}{2+ab+a}+\frac{2}{a+2+ab}$
$=\frac{a+ab+2}{ab+a+2}=1$
$\Rightarrow \sqrt{A}=1$
Vậy.........
Ta có: \(xyz=4\Leftrightarrow\sqrt{xyz}=\sqrt{4}=2\)
\( A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{xy}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{xyz}\sqrt{z}+\sqrt{xyz}}\\ =\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}\\ =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{xy}+2}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{z}}\\ =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}}\\ =1\)
\(\Leftrightarrow A=1\\ \Rightarrow\sqrt{A}=\sqrt{1}=1\)
Từ zyz = 4 => \(\sqrt{xyz}=\sqrt{4}=2\)
Ta có:A = \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{zx}+2\sqrt{z}+2}\)
A = \(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{xy^2z}+\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)
A = \(\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}+\frac{2}{2\sqrt{z}+\sqrt{xz}+2}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}\)
A = \(\frac{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=1\)