Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{Đặt }\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=ak\\y=bk\\z=ck\end{cases}}\)
Khi đó : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}=\frac{a^2}{ak}+\frac{b^2}{bk}+\frac{c^2}{ck}=\frac{a}{k}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k}=\frac{a+b+c}{k}\left(1\right);\)
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ak+bk+ck}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{k\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{k}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}=\frac{c^2}{z}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\left(\text{đpcm}\right)\)
Đặt k bằng tỉ số của dãy tỉ số bằng nhau:
\(k=\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
=> \(x=ak;y=bk;z=ck\)
Khi đó ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2=\left(ak+bk+ck\right)^2=k^2\left(a+b+c\right)^2=k^2.1^2=k^2\) (1)
(Vì \(a+b+c=1\))
Và: \(x^2+y^2+z^2=\left(ak\right)^2+\left(bk\right)^2+\left(ck\right)^2=k^2\left(a^2+b^2+c^2\right)=k^2\) (2)
(vì \(a^2+b^2+c^2=1\))
Từ (1) và (2) suy ra \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2=k^2\)