Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
7/ Em sửa lại đề ạ
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a+b=4ab
Chứng minh rằng \(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\ge\frac{1}{2}\)
Đổi biến \(\left(a,b\right)\rightarrow\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y}\right)\)
Từ giả thiết => x+y=4
Ta có: BĐT cần CM tương đương với:
\(\frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{4}{x^2}+1}\ge\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{y^2}{x\left(4+y^2\right)}+\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta có:
∑\(\frac{x^2}{y\left(4+x^2\right)}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy^2+x^2y}=\frac{16}{16+xy^2+x^2y}\)
Ta chỉ cần chứng minh:
\(xy^2+x^2y\le16\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2+x^2y\le x^3+y^3\)(luôn đúng)
Do đó (1) đúng. BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi x=y=2⇔a=b=\(\frac{1}{2}\)
6. (chuyên Hòa Bình)
Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy+zx+4yz=32
Tìm giá trị nhỏ nhất của\(P=x^2+16y^2+16z^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x,y,z ta có
\(\hept{\begin{cases}8y^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8y^2.\frac{1}{2}x^2}=4xy\\8z^2+\frac{1}{2}x^2\ge2\sqrt{8z^2.\frac{1}{2}x^2}=4xz\\8y^2+8z^2\ge2\sqrt{8y^2.8z^2}=16yz\end{cases}}\)
Cộng từng vế của ba bđt trên ta có
\(P\ge4\left(xy+xz+4yz\right)=4.32=128\)
Từ giả thiết \(a+b+c=6\) ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=36=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+ac+bc\right)=P+ab+ac+bc\)
Hay \(P=36-ab-bc-ca\).
Vậy GTLN của P tương đương với GTNN của \(ab+bc+ca\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\) là số lớn nhất trong \(a,b,c\)
Thì \(a+b+c=6\le3a\), do đó \(4\ge a\ge2\)
Lại có: \(ab+bc+ca\ge ab+ca=a\left(b+c\right)=6\left(6-a\right)\ge8\) với \(4 \ge a \ge 2\)
Do đó GTNN của \(ab+bc+ca=8\), khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)
Vậy GTLN của P là \(36-8=28\) khi \(\left\{\begin{matrix}a=4\\b=2\\c=0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}a+b+c=6\left(1\right)\\0\le a,b,c\le4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ(1)=> \(\left\{\begin{matrix}b+c=\left(6-a\right)\\b^2+c^2+bc=\left(6-a\right)^2-bc\end{matrix}\right.\)
\(P=a^2+\left(b^2+c^2+bc\right)+a\left(b+c\right)=a^2+\left[\left(6-a\right)^2-bc\right]+a\left(6-a\right)\)
\(P=\left(a^2-12a+36\right)-bc=\left(a-6\right)^2-bc\)
Từ (2)=> \(bc\ge0\) \(\Rightarrow P\le\left(a-6\right)^2\)
đạt được khi: \(b.c=0\Rightarrow\left[\begin{matrix}b=0\\c=0\end{matrix}\right.\) (3)
từ (1)&(3) \(\Rightarrow2\le a\le4\) (4)
P lớn nhất => !a-6! lớn nhất thủa mãn (4) => a=2 Từ (1)&(3)=>\(\left[\begin{matrix}b=4\\c=4\end{matrix}\right.\)
Kết luận:
Để P(a,b,c) đạt Max trong 3 số phải có 1 số =0 (cận bé của (2) ; Một số =4 (cận lớn của (2); một số thỏa mãn điều kiện (1)
Vậy: \(P_{max}\left(a,b,c\right)=P\left(4,2,0\right)=4^2+2^2+0^2+2.4+0+0=28\)
Giả sử $a\leq b\leq c\Rightarrow 2\leq c\leq 4$
$P=a^2+b^2+ab+c(a+b+c)=(a+b)^2-ab+6c\leq (6-c)^2+6c=c^2-6c+36=(c-3)^2+27$
Vì $2\leq c\leq 4$ nên $-1\leq c-3\leq 1\Rightarrow (c-3)^2\leq 1$
Vậy MaxP=28 khi a,b,c là hoán vị của 0,2,4
Đáp án C.
Ta có P = 2 b a 2 b a − 1 2 + 1 2 . 2 b a + 1. Đặt t = 2 b a , do 0 < b < 2 → t > 1.
Xét hàm số f ( t ) = t t − 1 2 + t 2 + 1 trên 1 ; + ∞ .
Đạo hàm
f ' ( t ) = ( t − 1 ) 2 − 2 t ( t − 1 ) ( t − 1 ) 4 + 1 2 = t + 1 ( t − 1 ) 3 + 1 2 ; f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 3.
Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thấy min f ( x ) = f ( 3 ) = 13 4 . Vậy P min = 13 4 .
Đáp án B.