Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{2a}{b}-\dfrac{2b}{a}-1\)
Ta có \(a^2+\dfrac{1}{b+c}=a^2+\dfrac{1}{6-a}\)
Mà \(a+b+c=6\Rightarrow0\le a,b,c\le2\)
\(\Rightarrow a^2+\dfrac{1}{6-a}\ge2^2+\dfrac{1}{6-2}=\dfrac{17}{4}\)
\(\Rightarrow P=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}=\sum\sqrt{a^2+\dfrac{1}{6-a}}\ge\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}+\sqrt{\dfrac{17}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
Ta có:
\(\frac{1+a}{1+9b^2}=a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{1+9b^2}\ge a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{2\sqrt{9b^2}}=a+1-\frac{3b\left(a+1\right)}{2}\)
Tương tự: \(\frac{1+b}{1+9c^2}\ge b+1-\frac{3c\left(1+b\right)}{2}\) ; \(\frac{1+c}{1+9a^2}\ge c+1-\frac{3a\left(c+1\right)}{2}\)
Cộng vế với vế:
\(Q\ge4-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
\(Q\ge\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT Minicopski, ta có:
\(P=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{a^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}\\ \Rightarrow P\ge\sqrt{4^2+\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2}=\sqrt{16+\left(\dfrac{4}{4}\right)^2}=\sqrt{17}\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)
Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:
$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$
$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)
\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)
\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^2+\frac{1}{b^2})(1+4^2)\geq (a+\frac{4}{b})^2\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+\frac{4}{b})\)
Hoàn toàn tương tự với những cái còn lại và cộng theo vế suy ra:
$S\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c})$
$\geq \frac{1}{\sqrt{17}}(a+b+c+\frac{36}{a+b+c})$ theo BĐT Cauchy-Schwarz.
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+b+c+\frac{9}{4(a+b+c)}\geq 3\)
\(\frac{135}{4(a+b+c)}\geq \frac{135}{4.\frac{3}{2}}=\frac{45}{2}\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\geq \frac{51}{2}\)
\(\Rightarrow S\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy $S_{\min}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$
