Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
mình ghi nhầm thui với lại bạn này gửi ngược ảnh, mình dùng máy tính không xem được
Ta có:
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(c^2-a^2-b^2\right)^2=\left(2ab\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2c^2a^2-2b^2c^2+2a^2b^2=4a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2c^2a^2+2b^2c^2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4+2c^2a^2+2b^2c^2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+ac+bc\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\)
Thiếu dữ kiện
Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+2abc\left(a+b+c+\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2\) (a + b + c = 0)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\) (1)
Mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4=2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
=> đpcm
Ta có: \(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2\) (vì a + b + c = 0)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\) (1)
Lại có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\) (2)
Thay (1) vào (2) ta được:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4=2\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ac\right)\) (1)
Cần chứng minh: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=2\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=a^4+b^4+c^4\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\) (Cộng hai vế cho 2(a2b2+b2c2+a2c2)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=\left[-2\left(ab+bc+ac\right)\right]^2\) (vì (1))
\(\Leftrightarrow4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)=4\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)+8\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)\)
\(\Leftrightarrow8\left(ab^2c+abc^2+a^2bc\right)=0\)
<=> 8abc (a+b+c) = 0
<=> 0 = 0 (Vì a+b+c = 0 ) (luôn luôn đúng)
Vậy => đpcm
Ta có :
\(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\right)\)
Cộng \(a^4+b^4+c^4\)vào \(2\left(a^2b^2 +a^2c^2+b^2c^2\right)\)
=> Đpcm
Áp dụng BĐT C-S ta có:
\(\left(a+b+c\right)\cdot VT\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\left(1\right)\)
Mặt khác ta cũng có bổ đề \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)^2\ge\frac{9}{4}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta dc DPCM
Dấu "=" xay ra khi \(a=b=c\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ac\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4ac-4bc\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac-4a^2-4b^2-4c^2+4ab+4bc+4ac=0\)
\(\Leftrightarrow-2a^2-2b^2-2c^2+2ab+2ac+2bc=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\a-c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)(đpcm)
Để bài chuẩn có lẽ phải là thế này:
"Cho a+b+c=0, cminh: 2(a^4 + b^4 + c^4) = (a^2 + b^2 + c^2)^2".
Chứng minh: Từ a+b+c=0 có b+c =-a
Suy ra (b+c)^2 = (-a)^2 hay b^2 + c^2 +2bc = a^2
hay b^2 + c^2 -a^2 = -2bc
Suy ra (b^2 + c^2 - a^2)^2 = (-2bc)^2
<=> b^4 + c^4 + a^4 +2b^2.c^2 - 2a^2.b^2 - 2a^2.c^2 = 4b^2.c^2
<=> a^4 + b^4 + c^4 = 2a^2.b^2 + 2b^2.c^2 + 2c^2.a^2
<=> 2(a^4 + b^4 + c^4) =a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2.b^2 + 2b^2.c^2 + 2c^2.a^2
<=> 2(a^4 + b^4 + c^4 ) =(a^2 + b^2 + c^2)
=>Đpcm
Tìm trong câu hỏi tương tự ấy, không thiếu đâu