Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Làm chữa lỗi phát:v Đến giờ mới nghĩ ra(thực ra là tình cờ xem lại ngày xưa:(
\(VT=\Sigma\frac{\sqrt{\left(a^2+b^2\right)2ab}}{a^2+b^2}\ge\Sigma\frac{2ab}{a^2+b^2}+3-3\)
\(=\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}-3\ge\frac{\left[2\left(a+b+c\right)\right]^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3\)
\(=\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)}-3=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)}{a^2+b^2+c^2}-3\)
\(=\frac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}-3=1\)(qed)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 0 và các hoán vị (xét sơ sơ thôi chớ xét chi tiết em không biết làm đâu:v)
P.s: Chả biết có đúng hay không nữa:(( Lần này mà không đúng thì khổ.
Bài toán ghép cơ học không có gì mới
Ta chứng minh 2 bổ đề:
\(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\le\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\left(1\right)\)
\(\frac{9}{2\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{ab+bc+ca}\left(2\right)\)
Bất đẳng thức ( 2 ) tương đương với:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2}+1+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+4\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\ge2\)( Luôn đúng theo BĐT AM - GM )
Bất đẳng thức ( 1 ) tương đương với:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+c^2+a^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\right)\le\frac{9}{2}\)
Sử dụng Titu's Lemma ta dễ có:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4a^2+b^2+c^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a^2+\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+c^2\right)}\le\frac{a^2}{2a^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\)
Một cách tương tự khi đó:
\(LHS\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Sigma\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\left(đpcm\right)\)
Vậy ta có đpcm
ko cả biết BĐT AM-GM với C-S là gì còn hỏi bài này rảnh háng
Đề sai rồi. Nếu như là a, b, c dương thì giá trị nhỏ nhất của nó phải là 9 mới đúng. Còn để có GTNN như trên thì điều kiện là a, b, c không âm nhé. Mà bỏ đi e thi cái gì mà phải giải câu cỡ này. Cậu này mạnh lắm đấy không phải dạng thường đâu.
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
Áp dụng bđt Holder, ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right).\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right)\left[a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+c^2a^2\left(c^2+a^2\right)\right]\ge\left(ab+bc+ca\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{8}\)
=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^4+a^4b^2+b^2c^4+b^4c^2+c^2a^4+c^4a^2}\)
Đặt a2=x, b2=y, c2=z
=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\)(1)
Theo bđt Schur, ta có:
\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)
<=>\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\)
<=>\(x^3+y^3+z^3+6xyz+3\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\ge4.\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)+3xyz\)
Vì \(xyz=\left(abc\right)^2\ge0\)
=>\(\left(x+y+z\right)^3\ge4\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\)
=>\(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\ge4\)
Thay vào (1)=>\(VT^2\ge\frac{1}{2}=>VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
=>ĐPCM
a,b,c>=0 mới được nhé
Đặt biểu thức là A
\(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}>=\frac{\sqrt{2abab}}{a^2}=\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}\)
Dấu = xảy ra khi có một trong 2 số a,b =0 hoặc a=b.
Tương tự=> A>=\(\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{2}bc}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{2}ca}{a^2+c^2}\)
\(\sqrt{2}A>=\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ca}{c^2+a^2}\)
\(\sqrt{2}A+3>=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}.\)
>=\(\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=4.\)
=>A>=1/căn 2
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng nhau, một số =0