Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2\ge0\\a^2+ab+b^2>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Áp dụng BĐT cosi với 2 số không âm:
`a^4+b^4+b^4+b^4>=4\root4{a^4b^12}=4|ab^3|>=4ab^3`
Hoàn toàn tương tự:
`b^4+a^4+a^4+a^4>=4a^3b`
`=>a^4+b^4+b^4+b^4+b^4+a^4+a^4+a^4>=4ab^3+4a^3b`
`<=>4(a^4+b^4)>=4(ab^3+a^3b)`
`<=>a^4+b^4>=ab^3+a^3b`
Đề bài sai, phản ví dụ: \(a=3;b=1;c=1\) thì \(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=45>0\)
https://olm.vn/hoi-dap/detail/108617134952.html
Bạn xem ở đây phần phân tích đa thức thành nhân tử nhé, sau đây là phần tiếp theo
a) Kết quả ( a – b ) 2 .
Gợi ý a 4 – 2 a 2 b 2 + b 4 = ( a 2 – b 2 ) 2 = ( a – b ) 2 ( a + b ) 2 .
b) Kết quả - 8 ( a – 2 b ) 2 .
Lời giải:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$18a^2+3b^2+7c^2+18-16ac+6bc-12a\geq 0$
$\Leftrightarrow (16a^2-16ac+4c^2)+3(b^2+2bc+c^2)+2(a^2-6a+9)\geq 0$
$\Leftrightarrow (4a-2c)^2+3(b+c)^2+2(a-3)^2\geq 0$
(luôn đúng với mọi $a,b,c$ thực)
Do đó ta có đpcm.
1: =(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3acb
=(a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
Đặt \(A=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4\)
\(A=-\left(a^4+b^4+c^4-2\left(ab\right)^2-2\left(bc\right)^2-2\left(ca\right)^2\right)\)
\(A=-\left(a^4+b^4+c^4-2\left(ab\right)^2-2\left(bc\right)^2+2\left(ca\right)^2-4\left(ca\right)^2\right)\)
Áp dụng hàng đẳng thức \(\left(a^2-b^2+c^2\right)=a^4+b^4+c^4-2\left(ab\right)^2-2\left(bc\right)^2+2\left(ca\right)^2\):
\(A=-\left[\left(a^2-b^2+c^2\right)^2-4\left(ca\right)^2\right]\)
\(A=-\left(a^2-b^2+c^2-2ca\right)\left(a^2-b^2+c^2+2ca\right)\)
2222222222222a+257222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222a=?
Câu a)
Ta có a + b \(\ge\)1 => a \(\ge\) 1 - b
Nên a2 + b2 \(\ge\) (1 - b)2 + b2 = 2b2 - 2b + 1 = 2(b2 - 2b.1/2 + 1/4 + 1/2) = 2(b - 1/2)2 + 1 \(\ge\) 1
Câu b) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
(x + y)2 = (1.x + 1.y)2 \(\le\) (12 + 12)(x2 + y2) = 2.1 = 2
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
câu1 : cần sửa lại là A2 + B2 \(\ge\frac{1}{2}\)
Ta chứng minh được : (A+B)2 \(\le2.\left(A^2+B^2\right)\) (*)
<=> A2 + B2 + 2A.B \(\le\) 2. (A2 + B2)
<=> 0 \(\le\) A2 + B2 - 2.A.B <=> 0 \(\le\) (A-B)2 luôn đúng => (*) đúng
b) Áp sung câu a => (x+y)2 \(\le\)2.(x2 + y2) = 2 => đpcm
Ta có: \(2\left(a^4+b^4\right)-\left(ab^3+a^3b+2a^2b^2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Ta có đpcm