K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

20 tháng 7 2023

\(P=\dfrac{1}{abc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{a+b+c}{abc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)

\(\)\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{2\left(ab+bc+ac\right)}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{17}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

mà \(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow P\ge9+\dfrac{17}{2.\dfrac{1}{3}}=9+\dfrac{17.3}{2}=\dfrac{18+17.3}{2}=\dfrac{69}{2}\)

\(\Rightarrow Min\left(P\right)=\dfrac{69}{2}\)

6 tháng 10 2020

Vi a + b + c = 1 nên bt tương đương với \(P=abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Ta có : \(P=abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)( 1 ) 

Mặt khác :\(\left(ab+bc+ca\right)^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^3=\frac{1}{27}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}.\frac{1}{27}=\frac{1}{81}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3

Vậy maxP = 1/81 <=> a = b = c = 1/3

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2022

Bài 1: Ta có:

\(M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)

\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)

$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2022

Bài 2:

Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên

\(N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}\)

Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$

Tương tự:

$c+d\leq cd+1$

$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$

Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$

$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$

$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$

Vậy $N_{\max}=3$

7 tháng 12 2020

bạn kiểm tra lại xem có sai đề không