K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 7 2019

Cần chứng minh: \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\)

Thật vậy: \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\le4b-a\Leftrightarrow\left(4b-a\right)\left(ab+5b^2\right)-19b^3+a^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4ab^2+20b^3-a^2b-5ab^2-19b^3+a^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

"=" khi a=b

Tương tự: \(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b;\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\)

Cộng theo vế: 

\(\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}+\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}+\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4b-a+4c-b+4a-c=3\left(a+b+c\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1/3

3 tháng 2 2018

Chuẩn hóa: a+b+c=3k

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k}+\dfrac{c}{k}=3\)

Đặt (\(\dfrac{a}{k};\dfrac{b}{k};\dfrac{c}{k}\))\(\Rightarrow\left(x;y;z\right)\);x+y+z=3

ĐPCM\(\Leftrightarrow\)\(\sum\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le3\left(x+y+z\right)\)

Ta CM BĐT:

\(\dfrac{19y^3-x^3}{xy+5y^2}\le4y-x\Leftrightarrow-\dfrac{\left(y-x\right)^2\left(x+y\right)}{xy+5y^2}\le0\)(đúng)

CMTT\(\Rightarrow\)ĐPCM

12 tháng 8 2019

Ta có : \(a+b^2⋮a^2b-1\) suy ra \(a+b^2=k\left(a^2b-1\right)\left(k\in N^{sao}\right)\)

\(\Leftrightarrow a+k=b\left(ka^2-b\right)\) hay \(mb=a+b\left(1\right)\) với \(m=ka^2-b\in Z^+\)

\(\Leftrightarrow m+b=ka^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(mb-m-b+1=a+b-ka^2+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(b-1\right)=\left(a+1\right)\left(k+1-ka\right)\left(3\right)\)

\(m,b\in Z^+\Rightarrow\left(m-1\right)\left(b-1\right)\ge0\)

Do đó từ (3) suy ra \(\left(a+1\right)\left(k+1-ka\right)\ge0\)

Lại vì a > 0 nên suy ra \(k+1-ka\ge0\Rightarrow1\ge k\left(a-1\right)\)

\(a-1\ge0,k>0\) nên \(1\ge k\left(a-1\right)\ge0\)

\(k\left(a-1\right)\in Z\)

\(\Rightarrow k\left(a-1\right)=0\) hoặc \(k\left(a-1\right)=1\)

=> a=1 hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\k=1\end{matrix}\right.\)

- Với a=1 thay vào (3) ta có:(m-1)(b-1)=2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b-1=1\\m-1=2\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}b-1=2\\m-1=1\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left\{{}\begin{matrix}b=2\\m=3\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}b=3\\m=2\end{matrix}\right.\)

TH b=2,m=3 suy ra 5=ka2 => a=1

TH b=3,m=2 => a=1

- Với a=1, k=1 thay vào (3): (m-1)(b-1)=0 <=> m=1 hoặc b=1

TH b=1 => a=2

TH m=1, từ (1) => a+k=b => b=3 => a=2

Vậy 4 cặp số (a;b) thỏa mãn là (1;2);(1;3);(2;3);(2;1)

12 tháng 8 2019

câu 2, câu hỏi tương tự có nhiều nh

AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 10 2023

Đề bị lỗi hiển thị hay sao ấy, mình không nhìn thấy BĐT/ đẳng thức bạn muốn chứng minh.

2 tháng 2 2017

trước hết ta cần chứng minh \(\frac{19b^3-a^3}{ab+5a^2}\le4b-a\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow19b^3-a^3\le\left(4b-a\right)\left(ab+5a^2\right)\left(ab+5a^2>0\right)\)

phá ngoặc và biến đổi thành bất đẳng thức quen thuộc\(a^3+b^3\ge\left(a+b\right)ab\)với a,b dương

để cm bất đẳng thức này ta cần biến đổi tương đương thành\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b)

chứng minh tương tự ta có VT\(\le\)4b-a+4c-b+4a-c\(=\)3(a+b+c)

để tham khảo thêm bạn có thể vào toán học tuổi trẻ số 440

20 tháng 2 2020

\(+\frac{20b^3-\left(a^3+b^3\right)}{ab+5b^2}\le\frac{20b^3-ab\left(a+b\right)}{ab+5b^2}=\frac{b\left(20b^2-a^2-ab\right)}{b\left(a+5b\right)}=\frac{\left(4b-a\right)\left(a+5b\right)}{a+5b}=4b-a\)

( áp dụng bđt : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( biến đổi tương đương là c/m đc ) )

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

+ Tương tự : \(\frac{19c^3-b^3}{bc+5c^2}\le4c-b\) Dấu "=" <=> b = c

\(\frac{19a^3-c^3}{ac+5a^2}\le4a-c\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c\)

Cộng vế theo vế ta có đpcm. Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

11 tháng 11 2017

Xem kỹ lại đề nhé. Anh không nghĩ đề đúng đâu

12 tháng 11 2017

uk e sorry sửa lại đề rồi đấy 

9 tháng 5 2018

 Đề bài bị trái dấu bạn nhé

CM \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\) 

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\) 

\(\Leftrightarrow5b^3-a^3\le2ab^2+6b^3-a^2b-3ab^2\) 

\(\Leftrightarrow b^3+a^3-ab^2-ba^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)đúng với mọi a, b>0 

CMTT các hạng tử khác 

\(\Rightarrow P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^3}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^3}+\frac{5a^3-c^3}{ac+3a^2}\le2b-a+2c-b+2a-c=a+b+c\)

9 tháng 5 2018

vậy đề sai rồi chứ mình giải mãi chả ra mà toàn ngược dấu nên mình tưởng mình sai