K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
3 tháng 3 2022

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, đặt:

\(\dfrac{a}{A}=\dfrac{b}{B}=\dfrac{c}{C}=\dfrac{d}{D}=\dfrac{a+b+c+d}{A+B+C+D}=k>0\)

\(\Rightarrow a=kA;b=kB;c=kC;d=kD;a+b+c+d=k\left(A+B+C+D\right)\)

Do đó:

\(\sqrt{aA}+\sqrt{bB}+\sqrt{cC}+\sqrt{dD}=\sqrt{kA^2}+\sqrt{kB^2}+\sqrt{kC^2}+\sqrt{kD^2}\)

\(=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (1)

\(\sqrt{\left(a+b+c+d\right)\left(A+B+C+D\right)}=\sqrt{k\left(A+B+C+D\right)^2}=\sqrt{k}\left(A+B+C+D\right)\) (2)

Từ (1);(2) suy ra điều phải c/m

NV
13 tháng 11 2018

\(\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}+\dfrac{d}{1+d}\le1-\dfrac{a}{1+a}=\dfrac{1}{1+a}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{1+a}\ge\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}+\dfrac{d}{1+d}\ge3\dfrac{\sqrt[3]{bcd}}{\sqrt[3]{\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)

Chứng minh tương tự ta có:

\(\dfrac{1}{1+b}\ge3\dfrac{\sqrt[3]{acd}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}}\)

\(\dfrac{1}{1+c}\ge3\dfrac{\sqrt[3]{abd}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+d\right)}}\)

\(\dfrac{1}{1+d}\ge3\dfrac{\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Nhân vế với vế của các BĐT trên ta được:

\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\ge81\dfrac{abcd}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)

\(\Rightarrow81abcd\le1\Rightarrow abcd\le\dfrac{1}{81}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=\dfrac{1}{3}\)

16 tháng 12 2018

Không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\)

Khi đó dễ thấy dấu = sẽ đạt được tại biên, tức a=2, c=1 nên ta sẽ dồn các biến ra biên

Ta có: \(\left(\dfrac{a}{b}-1\right)\left(\dfrac{b}{c}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\le\dfrac{a}{c}+1\)

\(\left(\dfrac{b}{a}-1\right)\left(\dfrac{c}{b}-1\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\le\dfrac{c}{a}+1\)

Do đó \(VT\le2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+2\) nên chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\le\dfrac{5}{2}\)(*) hay \(\dfrac{\left(a-2c\right)\left(2a-c\right)}{2ac}\le0\) ( luôn đúng do \(c\le a\le2c\) )

Vậy ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi a=2, c=1, b=1 hoặc a=2, c=1, b=2 và các hoán vị tương ứng.

2 tháng 5 2022

undefined

26 tháng 12 2018

b) Ta có:

\(\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{1^2}{c}+\dfrac{1^2}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{16}{a+b+c+d}\)

Dấu = xảy rakhi a=b=c=d

CM : bn tự chứng minh

Áp dụng:

Ta có:

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{2^2}{c}+\dfrac{4^2}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{64}{a+b+c+d}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=\dfrac{c}{2}=\dfrac{d}{4}\)

28 tháng 5 2022

28 tháng 5 2022

14 tháng 7 2018
https://i.imgur.com/kunWlGL.png
26 tháng 10 2021

Sửa \(\le\) thành \(\ge\) nha bạn

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\Leftrightarrow ab+bc+ca=abc\)

Ta có \(\dfrac{a^2}{a+bc}=\dfrac{a^3}{a^2+abc}=\dfrac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b+ca}=\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\\\dfrac{c^2}{c+ba}=\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT cosi:

\(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{64}}=\dfrac{3}{4}a\)

\(\dfrac{b^3}{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{64}}=\dfrac{3}{4}b\)

\(\dfrac{c^3}{\left(c+b\right)\left(c+a\right)}+\dfrac{b+c}{8}+\dfrac{a+c}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{64}}=\dfrac{3}{4}c\)

Cộng VTV:

\(\Leftrightarrow VT+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{a+c}{8}+\dfrac{b+c}{8}\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{4}-\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{8}\\ \Leftrightarrow VT\ge\dfrac{a+b+c}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=3\)