K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

16 tháng 7 2018

Ta có: \(\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}\)\(\Leftrightarrow a\left(c^2+b^2\right)=c\left(a^2+b^2\right)\)\(\Leftrightarrow ac^2+ab^2=a^2c+b^2c\Leftrightarrow ac\left(c-a\right)-b^2\left(c-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(ac-b^2\right)=0\)

Vì \(a\ne c\)nên \(c-a\ne0\)

Do đó \(ac-b^2=0\Leftrightarrow ac=b^2\Rightarrow\sqrt{ac}=b\)

Giả sử \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố

Ta có \(a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=\left(a+c\right)^2-ac=\left(a+c\right)^2-b^2\)\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\)

\(=\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ac}+\left(\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)

\(\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}\right]\left[\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\right]\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\)là số nguyên tố nên có một ước số là 1

Mà \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}< \left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+3\sqrt{ac}\)

nên \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2+\sqrt{ac}=1\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2=1-\sqrt{ac}\)

Vì \(a\ne c\Rightarrow\sqrt{a}\ne\sqrt{c}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{c}\ne0\)\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>0\)

Do đó \(1-\sqrt{ac}>0\Rightarrow\sqrt{ac}< 1\Rightarrow ac< 1\)(1)

Mà \(a^2+b^2>0\)và \(c^2+b^2>0\)nên \(\frac{a^2+b^2}{c^2+b^2}>0\Rightarrow\frac{a}{c}>0\Rightarrow\)a, c cùng dấu \(\Rightarrow ac>0\)(2)

Từ (1), (2) suy ra \(0< ac< 1\)

Mà a,c là số nguyên nên ac là số nguyên 

Do đó không có giá trị a,c thỏa mãn

suy ra điều giả sử sai

Vậy \(a^2+b^2+c^2\) không thể là số nguyên tố

1 tháng 12 2019

tự giải vl

3 tháng 10 2021

Ta có : \(P=3\sqrt{6}\sqrt{\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}}\)   = \(3\sqrt{6}.Q\)

Thấy : \(a^2-b^2-c^2=\left(b+c\right)^2-b^2-c^2=2bc\) ( do a + b + c = 0 )

Suy ra : \(\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}=\frac{a^2}{2bc}\) . CMTT : \(\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}=\frac{b^2}{2ac};\frac{c^2}{c^2-a^2-b^2}=\frac{c^2}{2ab}\) 

Suy ra : \(Q=\sqrt{\frac{a^2}{2bc}+\frac{b^2}{2ac}+\frac{c^2}{2ab}}=\sqrt{\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}}=\sqrt{\frac{3abc}{2abc}}=\sqrt{\frac{3}{2}}\)  ( vì a + b + c = 0 )

Khi đó : \(P=3\sqrt{6}.\sqrt{\frac{3}{2}}=9\) là 1 số nguyên 

( Q.E.D) 

21 tháng 11 2017

B1 : 

Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a

Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b

c^2/a+b + a+b/4 >= c

=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c

=> VT >= a+b+c/2 = VP 

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

k mk nha

24 tháng 9 2018

\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2+\left(a+\frac{1}{a}\right)+\left(b+\frac{1}{b}\right)+\left(c+\frac{1}{c}\right)+\left(a+b+c\right)-3\)

\(\ge2+2+2+3-3=6\)

27 tháng 10 2019

Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

14 tháng 7 2020

1/ .............. a=<b=<c=<d và a+d=b+c

1 tháng 8 2018

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)    (do a+b+c = 0)

=>  \(B=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{ \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

=>   đpcm

1,

\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)