Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(T=\frac{a}{a^2+8bc}+\frac{b}{b^2+8ca}+\frac{c}{c^2+8ab}\)
\(=\frac{a^2}{a^3+8abc}+\frac{b^2}{b^3+8abc}+\frac{c^2}{c^3+8abc}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^3+b^3+c^3+24abc}\)
Ta lại có: \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+\)\(3\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(\ge a^3+b^3+c^3+27\sqrt[3]{abc}.\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-3abc=\)\(a^3+b^3+c^3+24abc\)
Lúc đó: \(T\ge\frac{1}{a+b+c}=1\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
Câu hỏi của Phạm Trần Minh Trí - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo.
Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3}{4}a\)
Suy ra \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)^2}\ge\frac{3a-b-c}{4}\)
Tương tự các BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge\frac{a+b+c}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b= c = 2
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky :
\(\left(9a^3+3b^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow9a^3+3b^2+c\ge\frac{1}{\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{9a^3+3b^2+c}\le a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\)
Thực hiện tương tự với các phân thức khác và cộng theo vế :
\(P\le\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{a+b+c}{3}+\left(ab+bc+ac\right)\)
\(P\le\frac{2}{3}+ab+bc+ac\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM - GM :
\(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1\Rightarrow P_{max}=1\)
Vậy GTLN của P là 1 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}=\frac{a^3+ab^2-ab^2}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
mấy cái kia tương tự
=> P \(\ge a+b+c-\frac{a}{2}-\frac{b}{2}-\frac{c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=1008\)
Vậy Min P = 1008 khi x =y = z = 672