Question

[Ngô Châu Bảo Oanh]

cho a,b,c là 3 số nguyên dương và 3 so61x,y,z thõa mãn x+y+z=1008. đặt S₁=\(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\);\(s_2=\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\)và \(s_3=\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\). CMR:\(S_1+S_2+S_3\) bé hon hoặc bằng 2016

Answer 1

[Hoàng Phúc]

Ta có:

\(S_1+S_2+S_3=\left(\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}z\right)+\left(\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}y\right)+\left(\frac{a}{c}z+\frac{b}{c}y\right)\)

                        \(=\left(\frac{b}{a}x+\frac{a}{b}x\right)+\left(\frac{c}{b}y+\frac{b}{c}y\right)+\left(\frac{c}{a}z+\frac{a}{c}z\right)\)

                       \(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)x+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)y+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)z\)

Ta cần c/m bất đẳng thức : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\)

Nhân ab vào 2 vế ta có:

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right).ab>=2ab=>\frac{a^2b}{b}+\frac{b^2a}{a}>=2ab=>a^2+b^2>=2ab\)

\(=>a^2+b^2-2ab>=0=>\left(a-b\right)^2>=0\)

=>bất đẳng thức đúng với mọi a;b

chứng minh tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}>=2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}>=2\);Cộng từng vế các BĐT,ta thu được:

\(S_1+S_2+S_3>=2x+2y+2z=2\left(x+y+z\right)=2.1008=2016\)   (đpcm)

Answer 2

[Ngô Châu Bảo Oanh]

sao hông có ai trả lời hết vậy?PLEASE