Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}-1\)
\(P=\frac{bc}{2ab+ac}+\frac{ca}{2ab+bc}+\frac{4ab}{bc+ca}\)
Xét \(Q=P+3=\frac{bc}{2ab+ac}+1+\frac{ca}{2ab+bc}+1+\frac{4ab}{bc+ca}+1\)
\(Q=\frac{2ab+ac+bc}{2ab+ac}+\frac{2ab+ac+bc}{2ab+bc}+\frac{4ab+bc+ca}{bc+ca}\)
\(=\left(2ab+ac+bc\right)\left(\frac{1}{2ab+ac}+\frac{1}{2ab+bc}\right)+\frac{4ab+bc+ca}{bc+ca}\)
\(\ge\left(2ab+ac+bc\right)\frac{4}{4ab+ac+bc}+\frac{4ab+bc+ca}{bc+ca}=K\)(Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)với a, b không âm)
\(K=\frac{2\left(4ab+ac+bc\right)+2\left(ac+bc\right)}{4ab+ac+bc}+\frac{2\left(4ab+bc+ca\right)}{9\left(ac+bc\right)}\)\(+\frac{7\left(4ab+bc+ca\right)}{9\left(ac+bc\right)}\)
\(=2+\left[\frac{2\left(ac+bc\right)}{4ab+ac+bc}+\frac{2\left(4ab+bc+ca\right)}{9\left(ac+bc\right)}\right]+\frac{7}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4ab}{ac+bc}\)
\(\ge2+2\sqrt{\frac{2\left(ac+bc\right)}{4ab+ac+bc}.\frac{2\left(4ab+bc+ca\right)}{9\left(ac+bc\right)}}+\frac{7}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4ab}{ac+bc}\)(Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm)
\(=\frac{37}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4ab}{ac+bc}\)
Mặt khác: \(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)=\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{ab}+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\)
\(=\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{ab}+\frac{c\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}\)\(\ge\frac{2.2ab}{ab}+\frac{c\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)}{a^2b^2}=4+\frac{ac+bc}{ab}\)(theo BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\))
\(\Rightarrow\frac{ac+bc}{ab}\le2\Leftrightarrow\frac{ab}{ac+bc}\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow K\ge\frac{37}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4ab}{ac+bc}\ge\frac{37}{9}+\frac{7}{9}.\frac{4}{2}=\frac{17}{3}\)
Ta có \(Q=P+3\ge K\ge\frac{17}{3}\Rightarrow P\ge\frac{17}{3}-3=\frac{8}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}2ab+ac=2ab+bc\\\frac{2\left(ac+bc\right)}{4ab+ac+bc}=\frac{2\left(4ab+bc+ca\right)}{9\left(ac+bc\right)}\\a=b\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow a=b=c\)
Từ \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)=6\Rightarrow6=\frac{c\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}+\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)
ta có \(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow6=\frac{c\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2b^2}+\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge\frac{c\left(a+b\right)}{ab}+4\)
\(\Rightarrow0< \frac{c\left(a+b\right)}{ab}\le2\)
Lại có
\(\frac{bc}{a\left(2b+c\right)}+\frac{ac}{b\left(2a+c\right)}=\frac{\left(bc\right)^2}{abc\left(2b+c\right)}+\frac{\left(ac\right)^2}{abc\left(2a+c\right)}\ge\frac{\left(bc+ac\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)\(=\frac{\left[c\left(a+b\right)\right]^2}{2abc\left(a+b+c\right)}\)
và \(abc\left(a+b+c\right)=ab\cdot bc+bc\cdot ba+ab\cdot ca\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a\left(2b+c\right)}+\frac{ac}{b\left(2a+c\right)}\ge\frac{3}{2}\left(\frac{c\left(a+b\right)}{ab+bc+ca}\right)^2=\frac{3}{2}\left(\frac{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}{1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\right)^2\)
Đặt \(t=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\Rightarrow P\ge\frac{3t^2}{2\left(1+t\right)^2}+\frac{4}{t}\left(0< t\le2\right)\)
Có \(\frac{3t^2}{2\left(1+t\right)^2}+\frac{4}{t}=\left(\frac{3t^2}{\left(1+t\right)^2}+\frac{4}{t}-\frac{8}{3}\right)+\frac{8}{3}=\frac{-7t^2-8t^2+32t+24}{6t\left(1+t\right)^2}+\frac{8}{3}\)
\(=\frac{\left(t-2\right)\left(-7t^2-22t-12\right)}{6t\left(1+t\right)^2}\ge0\forall t\in(0;2]\)
=> \(\frac{\left(t-2\right)\left(-7t^2-22t-12\right)}{6t\left(1+t\right)^2}+\frac{8}{3}\ge\frac{8}{3}\forall t\in(0;2]\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> t=2 hay a=b=c
(
hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhhh
Đề lạ đời, sao lại tìm các số thực dương a,b,c, đáng lẽ phải là cho các số thực dương a,b,c chứ. Mà đã thực dương rồi sao \(c\ge0\)(c = 0 đâu có nghĩa là c dương)
Mình nghĩ đề đúng phải là: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(c\ge a\)(vì sau khi suy nghĩ và viết lại BĐT thì khi ta nhân hai phân số \(\frac{b}{a}.\frac{c}{b}=\frac{c}{a}\ge1\), cũng có thể đấy chứ) . CMR:...
Bất đẳng thức đã cho tương đương với \(\frac{1}{\left(1+\frac{b}{a}\right)^2}+\frac{1}{\left(1+\frac{c}{b}\right)^2}+\frac{4}{\left(1+\frac{a}{c}\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(\frac{b}{a}=x,\frac{c}{b}=y\left(x,y>0\right)\). Khi đó \(\frac{a}{c}=\frac{1}{xy}\). Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)(*) với x, y là các số dương
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(1-xy\right)^2+xy\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Ta quy bài toán về chứng minh \(\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:\(\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1\ge\frac{4xy}{1+xy}\)
Khi đó \(P=\frac{1}{xy+1}+\frac{4x^2y^2}{\left(1+xy\right)^2}+1-1\ge\frac{1}{xy+1}+\frac{4xy}{1+xy}-1\)\(=\frac{3xy}{1+xy}=\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\)(1)
Từ giả thiết \(c\ge a\)suy ra \(\frac{a}{c}\le1\)hay \(\frac{1}{xy}\le1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{3}{\frac{1}{xy}+1}\ge\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
áp dụng bđt phụ
\(x^2+y^2+z^2>=xy+xz+yz\)
ta đượcp>=12
nham. thuc ra
áp dụng bdt cô si ta có
\(\frac{a^4}{b\left(c+a\right)^2}+b>=\frac{a^2}{c+a}\)
cm tương tự
do do P+a+b+c>=\(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\)
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có
\(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{12}{2}=6\)
=>P>=-6
dau = xay ra<=>
\(\hept{\begin{cases}\frac{a^4}{b\left(c+a\right)^2}=b\\\frac{b^4}{c\left(a+b\right)^2}=c\end{cases}}va\hept{\begin{cases}\frac{c^4}{a\left(b+c\right)^2}=c\\\frac{\left(c+a\right)^2}{a^2}=\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2}=\frac{\left(b+c\right)^2}{c^2}\\a+b+c=12\end{cases}}\)
<=>a=b=c=4(tm)