Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\text{Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:}\)
\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+a+c+a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{a+b+c}{2.\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
\(\text{Suy ra: }\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}\Rightarrow b+c=\frac{a}{\frac{1}{2}}=2a\)
\(\frac{b}{a+c}\Rightarrow\frac{1}{2}\Rightarrow a+c=\frac{b}{\frac{1}{2}}=2b\)
\(\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\Rightarrow a+b=\frac{c}{\frac{1}{2}}=2c\)
\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}=2+2+2=6\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab.\left(b+c\right)=\left(a+b\right).bc\Rightarrow abb+abc=abc+bbc\Rightarrow a=c\\\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow\left(c+a\right).bc=\left(b+c\right).ca\Rightarrow bcc+abc=abc+cca\Rightarrow a=b\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)
\(M=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)
p/s: bài này có nhiều cách lắm, cách này ko đc thì thử làm cách khác =))
\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow ab\left(b+c\right)=\left(a+b\right)bc\)
\(\Rightarrow ab^2+abc=abc+b^2c\Rightarrow ab^2=b^2c\Rightarrow a=c\) (1)
\(\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\Rightarrow bc\left(c+a\right)=\left(b+c\right)ca\)
\(\Rightarrow bc^2+bca=bca+c^2a\Rightarrow bc^2=c^2a\Rightarrow b=a\)(2)
Từ (1) và (2) được a = b = c
Khi đó:
\(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(...=\frac{a+b-c+b+c-a+c+a-b}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)( a, b, c khác 0 )
=> \(\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=1\)
=> \(\hept{\begin{cases}a+b-c=c\\b+c-a=a\\c+a-b=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\c+a=2b\end{cases}}\)
Thế vào P ta được :
\(P=\frac{2c}{a}\cdot\frac{2a}{b}\cdot\frac{2b}{c}=\frac{8abc}{abc}=8\)
Đặt \(\frac{b+c-a}{c}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{b-c+a}{a}=k\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c-a=ck\\a+b+c=bk\\b-c+a=ak\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2b=k\left(a+c\right)\left(1\right)\\2c=k\left(b-a\right)\left(2\right)\\2b+2c=b\left(b+c\right)\Rightarrow k=2\end{cases}}\)
Thay k=2 vào (1) và (2) :
\(\hept{\begin{cases}2b=2\left(a+c\right)\\2c=2\left(b-a\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=a+c\\c=b-a\Rightarrow a=b-c\end{cases}}}\)
Vậy \(\frac{\left(b-a\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=\frac{\left(b-a\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{\left(b-c\right)\left(a+c\right)\left(b-a\right)}=\frac{b+c}{b-c}\)
Từ \(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ca}{c+a}\) suy ra \(\frac{a+b}{ab}=\frac{b+c}{bc}=\frac{c+a}{ca}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\\\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó \(M=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}=\frac{a^2+a^2+a^2}{a^2+a^2+a^2}=1\)
Cậu đã học mũ 3 rồi à