Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thêm điều kiện: a,b,c thỏa mãn là các cạnh của một tam giác
Ta có: \(a< b+c\)
nên \(a^2< ab+ac\)
Ta có: b<a+c
nên \(b^2< ab+bc\)
Ta có: c<a+b
nên \(c^2< ac+bc\)
Do đó: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\)
Câu hỏi của Hattory Heiji - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\ge\dfrac{4}{\dfrac{a^2+1}{2}+b^2+1+\dfrac{c^2+1}{2}}=\dfrac{8}{b^2+7}\)
Tương tự
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{a^2+7}\)
\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{c^2+7}\)
Cộng vế:
\(2\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{8}{a^2+7}+\dfrac{8}{b^2+7}+\dfrac{8}{c^2+7}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
a2+b2+c2=(a+b+c)2<=> ab+bc+ca=0
\(\Rightarrow S=\frac{a^2}{a^2+bc-\left(ab+ca\right)}+\frac{b^2}{b^2+ac-\left(ab+bc\right)}+\frac{c^2}{c^2+ab-\left(bc+ca\right)}\)
\(=\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}-\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{c^2}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)
\(=\frac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)-c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)
M tương tự