LM
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TT
0
TT
0
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
HT
0
BN
0
VT
10 tháng 11 2017
a/bc + b/ac >= 2.căn(1/c^2) = 2/c
tương tự:
a/bc + c/ab >= 2/b
b/ac + c/ab >= 2/a
cộng vế theo vế ;
ta đc
a/bc +b/ac+ c/ab >= 1/a +1/b +1/c
2)
a / (b+c) + 1 = (a+b+c)/(b+c)
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 = (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
áp dụng bđt cauchy quen thuộc
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z) >= 9
=> 2(a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b))
= (a+b + b+c + c+a)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >=9
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) >= 9/2
=> (a+b+c)(1/(b+c) + 1/(a+c) + 1/(a+b)) -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) + 3 -3 >= 3/2
=> a / (b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >=3/2
Chắc làm vậy
** Bạn lưu ý lần sau viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ bên trái màn hình) để đề trông rõ ràng hơn $\Rightarrow$ khả năng được giải đáp cao hơn.
Sửa đề: CMR $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}=\frac{a^4+b^4}{ab}$
$\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2ab}\geq \frac{2ab(a^2+b^2)}{2ab}=a^2+b^2(1)$
Mà:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$a^2+b^2\geq 2ab$
$\Rightarrow 2(a^2+b^2)+2\geq 2(a+b+ab)=6$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2(2)$
Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.
Cách khác:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{a^3}{b}+b+1\geq 3a$
$\frac{b^3}{a}+a+1\geq 3b$
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+ab\geq 3ab$
Cộng theo vế:
$\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+(a+b+ab)+2\geq 3(a+b+ab)$
$\Leftrightarrow 2(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a})+3+2\geq 9$
$\Rightarrow \frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}\geq 2$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$