Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Với $a,b,c>0$ ta có:
$M> \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}{a+b+c}=1(*)$
Mặt khác:
Xét hiệu: $\frac{a}{a+b}-\frac{a+c}{a+b+c}=\frac{-bc}{(a+b)(a+b+c)}<0$ với mọi $a,b,c>0$
$\Rightarrow \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}$
Tương tự ta cũng có: $\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}; \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}$
Cộng lại ta được: $M< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 1< M< 2$ nên $M$ không là số nguyên.
Vì \(a< b< c< d< m< n\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c+m< 3a\\a+b+c+d+m+n< 6a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{3a}{6a}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Bài giải
Ta có : \(a< b\text{ }\Rightarrow\text{ }2a< a+b\)
\(c< d\text{ }\Rightarrow\text{ }2c< c+d\)
\(m< n\text{ }\Rightarrow\text{ }2m< m+n\)
\(\Rightarrow\text{ }2a+2c+2m< \left(a+b+c+d+m+n\right)\) \(\Leftrightarrow\text{ }2\left(a+c+m\right)< \left(a+b+c+d+m+n\right)\)
\(\Rightarrow\text{ }\frac{a+c+m}{a+b+c+d+m+n}< \frac{1}{2}\)
Bài 2 : đề bài này chỉ cần a,b>0 , ko cần phải thuộc N* đâu
a, Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số lhoong âm a,b ta được :
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\) . Dấu "=" xảy ra khi a=b
b , Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm ta được : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân vế với vế ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2.2.\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=4\left(đpcm\right)\)
Dấu "="xảy ra tại a=b
Bài 1.
Vì a, b, c, d \(\in\) N*, ta có:
\(\dfrac{a}{a+b+c+d}< \dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+b}\)
\(\dfrac{b}{a+b+c+d}< \dfrac{b}{a+b+d}< \dfrac{b}{a+b}\)
\(\dfrac{c}{a+b+c+d}< \dfrac{c}{b+c+d}< \dfrac{c}{c+d}\)
\(\dfrac{d}{a+b+c+d}< \dfrac{d}{a+c+d}< \dfrac{d}{c+d}\)
Do đó \(\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}< M< \left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)+\left(\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{c+d}\right)\)hay 1<M<2.
Vậy M không có giá trị là số nguyên.
Vì \(a,b,c,d\in N^{\circledast}\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c< a+b+c+d\\a+b+d< a+b+c+d\\b+c+d< a+b+c+d\\a+c+d< a+b+c+d\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\\ \dfrac{b}{a+b+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\\ \dfrac{c}{b+c+d}>\dfrac{c}{a+b+c+d}\\ \dfrac{d}{a+c+d}>\dfrac{d}{a+b+c+d}\\ \Rightarrow P>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=1\\ \Rightarrow P>1\left(1\right)\)
Vì \(a,b,c,d\in N^{\circledast}\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>d\\a+b+d>c\\b+c+d>a\\a+c+d>b\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)}< \dfrac{2a}{a+b+c+d}\)
\(\dfrac{b}{a+b+d}=\dfrac{2b}{\left(a+b+d\right)+\left(a+b+d\right)}< \dfrac{2b}{a+b+c+d}\left(a+b+d>c\right)\\ \dfrac{c}{b+c+d}=\dfrac{2c}{\left(b+c+d\right)+\left(b+c+d\right)}< \dfrac{2c}{a+b+c+d}\left(b+c+d>a\right)\\ \dfrac{d}{a+c+d}=\dfrac{2d}{\left(a+c+d\right)+\left(a+c+d\right)}< \dfrac{2d}{a+b+c+d}\left(a+c+d>b\right)\)
Từ đó, ta có :
\(\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+d}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}< \\ \dfrac{2a}{a+b+c+d}+\dfrac{2b}{a+b+c+d}+\dfrac{2c}{a+b+c+d}+\dfrac{2d}{a+b+c+d}=2\\ \Rightarrow P< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
Câu 2:
\(\Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{15}+...+\dfrac{1}{78}\right)=\dfrac{220}{39}\)
\(\Leftrightarrow2x\left(\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{20}+...+\dfrac{1}{156}\right)=\dfrac{220}{39}\)
\(\Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}\right)=\dfrac{110}{39}\)
\(\Leftrightarrow x\cdot\dfrac{10}{39}=\dfrac{110}{39}\)
=>x=11
Câu 9 : Giải
\(\dfrac{18n+3}{21n+7}\)= \(\dfrac{3\left(6n+1\right)}{7\left(3n+1\right)}\) theo mình thấy thì các số 3 và 7 ; 3n+1 và 6n+1 là một số đôi nguyên tố cùng nhau
Cho nên, để phân số \(\dfrac{18n+3}{21n+7}\) là phân số tối giản thì 6n+1 không chia hết cho 7
Từ đó => n = - 7k + 1 (k thuộc Z)
TK à bn??