Question

[Hoai Bao Tran]

cho 3 số thực dương a,b,c thay đổi thỏa mãn \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\)

tìm max của \(P=\dfrac{1}{\left(2a+b+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2b+c+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2c+a+b\right)^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}\)

\(\Rightarrow (2a+b+c)^2\geq 4(a+b)(a+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{1}{4(a+b)(a+c)}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại suy ra:

\(P\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{(a+b)(a+c)}+\frac{1}{(b+c)(b+a)}+\frac{1}{(c+a)(c+b)}\right)\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{4}.\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

\(\Leftrightarrow P\leq \frac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Lại có: \((a+b)(b+c)(c+a)\geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc\) (theo AM-GM)

\(\Rightarrow P\leq \frac{a+b+c}{2.8abc}=\frac{a+b+c}{16abc}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}; \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}; \frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ac}\)

\(\Rightarrow 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\geq 2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}\)

\(\Rightarrow a+b+c\leq 3abc(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow P\leq \frac{3abc}{16abc}=\frac{3}{16}\)

Vậy \(P_{\max}=\frac{3}{16}\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)