Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(abc=b+2c\)
\(\Rightarrow a=\dfrac{b+2c}{bc}\)\(\Rightarrow a=\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}\)
Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
Ta có: \(\dfrac{3}{b+c-a}+\dfrac{4}{c+a-b}+\dfrac{5}{a+b-c}\)
\(=\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}+2\left(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)+3\left(\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)\ge\dfrac{4}{b+c-a+c+a-b}+2.\dfrac{4}{b+c-a+a+b-c}+3.\dfrac{4}{c+a-b+a+b-c}=\dfrac{4}{2c}+2.\dfrac{4}{2b}+3.\dfrac{4}{2a}=\dfrac{2}{c}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{6}{a}=2\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{a}\right)=2\left(a+\dfrac{3}{a}\right)\ge2.2\sqrt{\dfrac{a.3}{a}}=4\sqrt{3}\)
(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương)
\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Lời giải:
Vì tam giác có chu vi bằng $1$ nên $a+b+c=1$
\(\Rightarrow 1-a, 1-b, 1-c>0\)
Thay vào biểu thức đã cho:
\(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\right)[a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)]\geq (a+b+c)^2\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)-(a^2+b^2+c^2)}\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\geq \frac{1}{1-(a^2+b^2+c^2)}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky: \((a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2=1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 1-(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{2}{3}\)
Suy ra \( \frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}\geq \frac{1}{1-(a^2+b^2+c^2)}\geq \frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{c}{1}\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác $ABC$ đều.
Cách khác:v
Giải: \(gt:\left\{{}\begin{matrix}a;b;c>0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\)
\(pt\Leftrightarrow\dfrac{a}{\left(a+b+c\right)-a}+\dfrac{b}{\left(a+b+c\right)-b}+\dfrac{c}{\left(a+b+c\right)-c}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{3}{2}\)
\(Nesbit:\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" \(a=b=c\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều
sửa đề bài tẹo : \(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)\times2\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+3\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a-\dfrac{a^2}{a+b^2}=\dfrac{ab^2}{a+b^2}\le\dfrac{ab^2}{2b\sqrt{a}}=\dfrac{b\sqrt{a}}{2}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại cũng có:
\(b-\dfrac{b^2}{b+c^2}\le\dfrac{c\sqrt{b}}{2};c-\dfrac{c^2}{c+a^2}\le\dfrac{a\sqrt{c}}{2}\)
Sau đó cộng theo vế các BĐT trên
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge3-\dfrac{1}{2}\left(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c}\right)\)
\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge3-\dfrac{1}{2}\sqrt{\left(a+b+c\right)\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\sqrt{3a^2\left(2b^2+2c^2-a^2\right)}}\)
\(\ge\dfrac{\sqrt{3}a^2}{\dfrac{3a^2+2b^2+2c^2-a^2}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Tương tự cho các BĐT còn lại ta có:
\(\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}b^2}{a^2+b^2+c^2};\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\dfrac{\sqrt{3}c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{3}=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
1) Áp dụng bất đẳng Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)
(Cauchy 3 số) Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
2) Áp dụng kết quả phần 1 ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{\left(a^3+b^2+c^3\right)^2}{3\cdot\frac{1}{3}}=\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow\) Tam giác là tam giác đều