Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ bất đẳng thức Cô si ta có:
\(4\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\left[\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\)Ta cần chứng minh:
\(\frac{ab+bc+ca}{ca}+ca\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\le\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau, nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(a\ge b\ge c\)nên bất đẳng thức cuối cùng đùng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge\frac{3}{4}a\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}a-\frac{1}{8}b-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}\)
\(\Sigma\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\) :)
Với mọi \(0< a< \dfrac{1}{2}\) ta có:
\(\left(\sqrt{2a}-1\right)^2\ge0\Rightarrow2a+1\ge2\sqrt{2a}\)
\(\Rightarrow1\ge2\sqrt{a}\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{a}}\ge2\sqrt{a}\)
Do đó:
\(\dfrac{2+\sqrt{2a}}{2-a}=\dfrac{2-a+a+\sqrt{2a}}{2-a}=1+\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{2}-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{a}\right)}=1+\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}-\sqrt{a}}\ge1+\sqrt{a}.2\sqrt{a}=2a+1\)
Tương tự:
\(\dfrac{2+\sqrt{2b}}{2-b}\ge2b+1\)
Cộng vế:
\(\dfrac{2+\sqrt{2a}}{2-a}+\dfrac{2+\sqrt{2b}}{2-b}\ge2a+1+2b+1=4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
\(P=\sum\frac{a}{\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(b+c\right)^2}}\le\sqrt{2}\sum\frac{a}{2a+b+c}=\sqrt{2}\sum a\left(\frac{1}{a+b+a+c}\right)\le\frac{\sqrt{2}}{4}\sum\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Bài 1. Ta có: \(a\left(a+2\right)\left(a-1\right)^2\ge0\therefore\frac{1}{4a^2-2a+1}\ge\frac{1}{a^4+a^2+1}\)
Thiết lập tương tự 2 BĐT còn lại và cộng theo vế rồi dùng Vasc (https://olm.vn/hoi-dap/detail/255345443802.html)
Bài 5: Bất đẳng thức này đúng với mọi a, b, c là các số thực. Chứng minh:
Quy đồng và chú ý các mẫu thức đều không âm, ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\Sigma\left[\left(a^2+b^2\right)+2c^2\right]\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đây là điều hiển nhiên.
\(\left(a+\frac{4b}{c^2}\right)\left(b+\frac{4c}{a^2}\right)\left(c+\frac{4a}{b^2}\right)\ge2\sqrt{\frac{4ab}{c^2}}.2\sqrt{\frac{4bc}{a^2}}.2\sqrt{\frac{4ac}{b^2}}=64\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\) ; \(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\); \(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)=ab+bc+ca\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
\(3=a+b+ab\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-2\right)\left(a+b+6\right)\ge0\Rightarrow a+b\ge2\)
Đặt vế trái của BĐT là P
\(P=\frac{4a\left(a+1\right)+4b\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+2ab-\sqrt{7-3\left(3-a-b\right)}\)
\(P=\frac{4\left(a^2+b^2+a+b\right)}{ab+a+b+1}+2ab-\sqrt{3\left(a+b\right)-2}\)
\(P=a^2+b^2+a+b+2ab-\sqrt{3\left(a+b\right)-2}\)
\(P=\left(a+b\right)^2+a+b-\sqrt{3\left(a+b\right)-2}\)
Đặt \(\sqrt{3\left(a+b\right)-2}=x\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\a+b=\frac{x^2+2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{x^2+2}{3}\right)^2+\frac{x^2+2}{3}-x=\frac{x^4+7x^2-9x+10}{9}\)
\(P=\frac{x^4+7x^2-9x-26+36}{9}=\frac{\left(x-2\right)\left(x^3+2x^2+11x+13\right)}{9}+4\ge4\) ; \(\forall x\ge2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\) hay \(a=b=1\)