Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2 bạn tham khảo cách làm của cô Linh Chi tại đây nhé :
Câu hỏi của nguyen trung nghia - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Học tốt và cá tháng tư đừng để bị troll nha !!!!!!!!!!!
B1:
\(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
\(=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)
Nhờ dự đoán được điểm rơi,ta chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
Thật vậy !!!
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{y}{x}-2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x-y}{2y}+\frac{y-2x}{x}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2x^2-xy+2y^2-4xy}{2xy}\le0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-5xy+2y^2\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(2x-y\right)\le0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra tại \(x=1;y=2\)
Vậy \(M_{max}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow x=1;y=2\)
Với \(2\ge x,y\ge1\)
Ta có :
\(2x\ge2\ge y;2y\ge x\)
\(\Rightarrow\left(2x-y\right)\left(2y-x\right)\ge0\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\le\dfrac{5}{2}\)
Ta lại có :
\(M=2+\dfrac{x^2+y^2}{xy}\le2\dfrac{5}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu ''='' khi có 1 số bằng 1 và 1 số bằng 2 .
#####Kaito#####
Do \(1\le x< y\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le x< 2\\\frac{1}{2}\le\frac{1}{y}< 1\end{cases}}\)
=> \(\frac{1}{2}\le\frac{x}{y}< 2\)
\(A=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(\frac{1}{2}\le t< 2\right)\)
Ta có: \(A=t+\frac{1}{t}+2=\left(t-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{t}-2\right)+\frac{9}{2}=\frac{2t-1}{2}+\frac{1-2t}{t}+\frac{9}{2}\)
\(=\frac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}+\frac{9}{2}\)
Vì \(\frac{1}{2}\le t< 2\Rightarrow\hept{\begin{cases}2t-1\ge0\\t-2< 0\end{cases}\Rightarrow\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\le0}\)và \(2t\ge2.\frac{1}{2}=1\Rightarrow\frac{1}{2t}\le1\)
=> \(A\le\frac{9}{2}\)
"=" Xảy ra <=> \(t=\frac{1}{2}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\\x=1;\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)
Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)
Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)
\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)
Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)
\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...
Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!
P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v
Bài 1:
Đặt a=x-1; b=y-1; c=z-1. Khi đó a;b;c\(\in\)[-1;1], a+b+c=0 và
\(P=\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3+\left(c+1\right)^3-3abc\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\left(a+b+c\right)+3\)
\(=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\)
Ta có: \(0\le a^2+b^2+c^2\le2\)
Từ đây ta dễ thấy Min P=3 đạt được khi x=y=z=1
Ta xét tống T của 3 số x(1-y);y(1-x);z(1-x)
Ta có T=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=x+y+z-xy-xz-yz
Theo giả thiết xyz=(1-x)(1-y)(1-z)=1-(x+y+z-xy-xz-yz)-xyz
=> 2xyz=1-T => T=1-2xyz
Nhưng x2y2z2 =[x(1-x)][y(1-y)][z(1-z)]\(\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{64}\)
=> xyz\(\le\)\(\frac{1}{8}\Rightarrow2xy\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(T\ge1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(T\ge\frac{3}{4}\)nên trong 3 số x(1-x), y(1-y), z(1-z) có ít nhất một trong 3 số đó \(\ge\frac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Tách M ra sẽ =x/x+x/y+y/x+y/y
=> M=1+1+x/y+y/x
x/y+y/x >= 2 (định lí cauchy)
=> M>=4.
Mà đề bài phải là tìm GTNN nhá !!!
Lạnh Lùng Boy sai rồi , nếu Cô-si thì x = y mà đề bài là x < y -> dấu "=" không xảy ra , đề tìm max là đúng, đợi ít đang nghĩ