Question

[Ngoc Anh Thai]

Câu 1.

Cho các biểu thức \(A=\dfrac{25\sqrt{x}+6}{x-36}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{6-\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}\) và \(B=\dfrac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\) với \(x\ge0;x\ne1;x\ne36\)

a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 16.

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Đặt T = \(\sqrt{A.B}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T.

Câu 2.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Hôm chủ nhật trước, Dũng được bố chở bằng xe máy đi về quê cách nhà 60 km với vận tốc dự định. Trên đường về do có \(\dfrac{1}{3}\) quãng đường là đường xấu nên để đảm bảo an toàn, bố bạn đã phải giảm bớt vận tốc đi 10 km/h, do đó đã về tới quê chậm nhất 10 phút so với dự kiến. Tính vận tốc dự định của hai bố con bạn Dũng.

Câu 3.

1) Giải hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-1}+\dfrac{14}{2y+1}=10\\\sqrt{x-1}-\dfrac{5}{2y+1}=\dfrac{23}{7}\end{matrix}\right.\)

2) Cho phương trình \(x^2-2\left(m+5\right)x+2m+9=0\)

a) Giải phương trình với m = 10.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn điều kiện: x₁ - 2 \(\sqrt{x_2}=0\).

Câu 4.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh AEHF, BCEF là các tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AM của (O). Chứng minh BHCM là hình bình hành và AB.AC = AM.AD.

c) Cho BC cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn; BE cắt (O) tại I. CF cắt (O) tại J. Chứng minh đoạn IJ có độ dài không đổi.

Answer 1

[HT2k02]

Câu 1:

a) Khi x =16 (t.m ĐKXĐ) thì B có giá trị là:

\(B=\dfrac{16-6\cdot4}{4-1}=\dfrac{-8}{3}\)

b) Ta có:

\(A=\dfrac{25\sqrt{x}+6}{x-36}-\dfrac{\sqrt{x}-1}{6-\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+6}=\dfrac{25\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}+\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}+\dfrac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-6\right)}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}=\dfrac{25\sqrt{x}+6+x+5\sqrt{x}-6+2x-12\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}=\dfrac{3x+18\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\)

c) Ta có:

\(T=\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-6}\cdot\dfrac{x-6\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{\dfrac{3x\left(\sqrt{x}-6\right)}{\left(\sqrt{x}-6\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}}=\sqrt{\dfrac{3\left(x-1\right)+3}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{3\left(\sqrt{x}+1\right)+\dfrac{3}{\sqrt{x}-1}}=\sqrt{3\left(\sqrt{x}-1+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)+6}\overset{Cosi}{\ge}\sqrt{3\cdot2+6}=2\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(t.m\right)\)

Answer 2

[trương khoa]

Gọi vận tốc dự định của hai bố con bạn Dũng là x(km/h)(x>0).Đổi: 10 phút =\(\dfrac{1}{6}\)(h)

thời gian dự định đi về quê là \(\dfrac{60}{x}\)(h)

vận tốc đi trên \(\dfrac{1}{3}\)quãng đường là đường xấu hai bố con bạn Dũng là \(x-10\)(km/h)

Thời gian thực tế đi về quê là \(\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot60}{x-10}+\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot60}{x}\)(h)

Vì hai bố con bạn Dũng đã về tới quê chậm mất 10 phút so với dự kiến

Nên ta có pt sau:

\(\left(\dfrac{\dfrac{1}{3}\cdot60}{x-10}+\dfrac{\dfrac{2}{3}\cdot60}{x}\right)-\dfrac{1}{6}=\dfrac{60}{x}\)

⇔\(\dfrac{20}{x-10}+\dfrac{40}{x}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{60}{x}\)

⇔\(20x+40\left(x-10\right)-\dfrac{1}{6}x\left(x-10\right)=60\left(x-10\right)\)

⇔\(-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{5}{3}x+200=0\)

⇒\(\left[{}\begin{matrix}x=40\left(n\right)\\x=-30\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ......