Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\Rightarrow\)\(x+y+z=xyz\)
Ta có : \(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự : \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\); \(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\)
Nên \(Q=\frac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\frac{y}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\frac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
\(Q=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{A.B}\le\frac{A+B}{2}\left(A,B>0\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi A = B :
Ta được :
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy GTLN của \(Q=\frac{3}{2}\)khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
Từ dữ kiện đề bài => x + y + z = xyz
Ta có :
\(\frac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\frac{x}{\sqrt{yz+xyz.x}}=\frac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)\)
Tương tự với hai hạng tử còn lại , suy ra
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+z}+\frac{x}{x+y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy Max = 3/2 <=> x = y = z
Nguồn : Đinh Đức Hùng
Theo bài ra ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Rightarrow x+y+z=xyz\)
Do:\(\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}=\sqrt{yz+x^2yz}=\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Tương tự: \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\);
\(\sqrt{zx\left(1+y^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+y\right)}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(1+x^2\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{zx\left(1+y^2\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(1+z^2\right)}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Ta có \(\sqrt{\frac{x}{x+y}.\frac{x}{x+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{y}{x+y}.\frac{y}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\);
\(\sqrt{\frac{z}{x+z}.\frac{z}{y+z}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{z}{y+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(A\le\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)
M giải thích cho t chỗ sao mà \(\sqrt{xy\left(1+z^2\right)}=\sqrt{\left(z+y\right)\left(x+z\right)}\) đc vậy?
Với cả từ dòng này xuống dòng này nữa.
Sao mà tin đc dấu " = " xảy ra khi nào vậy?
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{xyz}=1\)\(\Rightarrow x+y+z=xyz\)
Biến đổi biểu thức dưới mẫu thành:
\(yz\left(1+x^2\right)\)\(=yz+x.\left(x+y+z\right)\)\(\)\(=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(\frac{x}{\sqrt{xy\left(1+x^2\right)}}=\sqrt{\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\) \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
CMTT:
\(Q\le\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(Q\le\frac{3}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
\(\frac{x^2-yz}{yz}+1+\frac{y^2-zx}{zx}+1+\frac{z^2-xy}{xy}+1=3\Leftrightarrow\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x^3+y^3+z^3\right)=3\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\)
Tới đây bạn thay vào nhé :)
Mình nghĩ bạn viết hơi sai đề bài.
\(x^2+xz-y^2-yz=\left(x^2-y^2\right)+xz-yz=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+z\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)\)
Tương tự: \(y^2+xy-z^2-xz=\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)\)
\(z^2+yz-x^2-xy=\left(x+y+z\right)\left(z-x\right)\)
Khi đó:
\(P=\frac{1}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{\left(x-y\right)\left(x+y+z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{z-x+x-y+y-z}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x+y+z\right)}=0\)
Câu hỏi của phan tuấn anh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath cái này y hệt, tham khảo đi nếu vẫn chưa làm dc thì nhắn cho mk
c tham khảo lời giải trong này xem https://cunghocvui.com/danh-muc/toan-lop-8
\(M=2.3.4+3.4.5+..........+2018.2019.2020\)
\(\Leftrightarrow4M+6=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+.........+2018.2019.2020.\left(2021-2017\right)\)
\(\Leftrightarrow\text{4M=2018.2019.2020.2021-6=?}\)
lm hộ mik câu 4 vs 3 trước nha