Question

[Sagit Cute]

Bài 1 : Cho a₁ , a₂ , ... , an là 1 hoán vị của 1 , 2 , 3 , ... , n với n là số tự nhiên lẻ .

Chứng minh : ( a₁ + 1 ) ( a₂ + 2 ) ... ( a_n + n ) là số chẵn .

Bài 2 : Trên đường tròn người ta xếp các số 1 , 2 , 3 , ... , 10 ( mỗi số xuất hiện 1 lần ) 

Chứng minh rằng : Không tồn tại cách xếp nào mà tổng  2 số kề nhau đều lớn hơn 10 .

Bài 3 : Người ta thay dấu * bởi dấu "+" hoặc "-" bằng biểu thức :

A = 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Có cách điền nào để A là chẵn không ?

P.s : Giải đầy đủ hộ mị nhe =))

Answer 1

[Dương Đức Thiên]

1)

a₁ , a₂ , ... , an có \(\frac{n-1}{2}\)số chẵn và \(\frac{n-1}{2}+1\)số lẻ.

Giả sử ( a₁ + 1 ) ( a₂ + 2 ) ... ( a_n + n ) lả số lẻ.

=> a₁ + 1 lẻ, a₂ + 2 lẻ, ..., a_n + n lẻ

=> a₁ chẵn, a₂ lẻ, ..., a_n chẵn => có \(\frac{n-1}{2}\)số lẻ và \(\frac{n-1}{2}+1\)số chẵn => Mâu thuẫn

Vậy ( a₁ + 1 ) ( a₂ + 2 ) ... ( a_n + n ) là số chẵn.

3)

Giả sử A chẵn.

Giá trị lớn nhất của A là 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 55 là số lẻ.

Nếu thay từng dấu + thành dấu - thì giá trị A sẽ giảm đi 2 lần số đằng sau dấu đó (2n với n là STN).

Tức là trừ đi số chẵn (2n luôn chẵn). => A luôn là số lẻ => Mâu thuẫn

Vậy A là số lẻ.

Bài 2 mình chưa ra nhé.