Question

[Thái Bình Trọng]

B=3+3²+3³+3⁴+3⁵+...+3²⁰¹⁵+3²⁰¹⁶  chứng tỏ rằng chia hết cho 4 và 13

Answer 1

[Vũ Quang Vinh]

Chia đề bài thành 2 phần như sau:
Phần thứ nhất: Chứng tỏ B chia hết cho 4. Ta có:
\(B=3+3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{2015}+3^{2016}\)
\(B=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+\left(3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2015}+3^{2016}\right)\)
\(B=\left(3\cdot1+3.3\right)+\left(3^3\cdot1+3^3\cdot3\right)+\left(3^5\cdot1+3^5\cdot3\right)+...+\left(3^{2015}\cdot1+3^{2015}\cdot3\right)\)
\(B=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+3^5\left(1+3\right)+...+3^{2015}\left(1+3\right)\)
\(B=3\cdot4+3^3\cdot4+3^5\cdot4+...+3^{2015}\cdot4\)
\(B=4\left(3+3^3+3^5+...+3^{2015}\right)\)
Do B có một thừa số là 4 nên B chia hết cho 4. Đã chứng minh được phần thứ nhất.
Phần thứ hai: Chứng tỏ B chia hết cho 13. Ta có:
\(B=3+3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{2015}+3^{2016}\)
\(B=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{2014}+3^{2015}+3^{2016}\right)\)
\(B=\left(3\cdot1+3\cdot3+3\cdot9\right)+\left(3^4\cdot1+3^4\cdot3+3^4\cdot9\right)+...+\left(3^{2014}\cdot1+3^{2014}\cdot3+3^{2014}\cdot9\right)\)
\(B=3\left(1+3+9\right)+3^4\left(1+3+9\right)+...+3^{2014}\left(1+3+9\right)\)
\(B=3\cdot13+3^4\cdot13+...+3^{2014}\cdot13\)
\(B=13\left(3+3^4+...+3^{2014}\right)\)
Do B có thừa số 13 nên B chia hết cho 13. Phần thứ hai đã được chứng minh.
Qua hai phần trên, ta kết luận: B chia hết cho 4 và 13.

Answer 2

[Mai Ngọc]

B = 3+3^2+3^3+3^4+..+3^2015+3^2016

=>B=(3+3^2)+(3^3+3^4)+(3^5+3^6)+...+(3^2015+3^2016)

=>B=12+3^2(3+3^2)+3^4+(3+3^2)+...+3^2014(3+3^2)

=>B=12+3^2.12+3^4.12+...+3^2014.12

=>B=12(1+3^2+3^4+...+3^2014)

=>?B=4.3.(1+3^2+3^4+...+3^2014)=>B chia hết cho 4

B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^2015+3^2016

=>B=(3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+(3^7+3^8+3^9)+...+(3^2014+3^2015+3^2016)

=>B=39+3^3(3+3^2+3^3)+3^3(3+3^2+3^3)+3^6(3+3^2+3^3)+...+3^2013(3+3^2+3^3)

=>B=39+3^3.39+3^6.39+...+3^2013.39

=>B=39(1+3^3+3^6+...+3^2013)

=>b=13.3.(1+3^3+3^6+....+3^2013)=>B chia hết cho 13