Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A^2=\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{5-x}\right)^2=8+2\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có
\(2\sqrt{\left(x+3\right)\left(5-x\right)}\le x+3+5-x=8\)
\(\Rightarrow
A^2\le8+8=16\Rightarrow
A\le4
\left(đpcm\right)\)
Mình bổ sung cách mới cho bạn nhé ^^
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
\(A^2=\left(1.\sqrt{x+3}+1.\sqrt{5-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+3+5-x\right)\)\(\Rightarrow A^2\le16\Rightarrow A\le4\)
Bài 3:
Xét họ đường cong \(\left(C_m\right):y=f_m\left(x\right)=mx^4\) và các đường thẳng \(d_m:y=k_mx+n_m\),
với \(x\in\left(0;3\right)\) và \(m=1,2,3\)
Điều kiện \(\left(C_m\right)\) tiếp xúc với \(d_m\) là
\(\begin{cases}mx^4=k_mx+n_m\\4mx^3=k_m\end{cases}\)\(,m=1,2,3\)
Ta cần chọn x1,x2,x3 thỏa mãn
\(\begin{cases}k_1=4x_1^3;k_1=k_2=k_3=k\\k_2=8x_2^3\\k_3=12x_3^3\\x_1+x_2+x_3=3\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x^3_1=2x^3_2=3x^3_3\\x_1+x_2+x_3=3\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x_1=\frac{3\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}}\\x_2=\frac{x_1}{\sqrt[3]{2}}\\x_3=\frac{x_1}{\sqrt[3]{3}}\end{cases}\).Suy ra \(k=4x_1^3=\frac{648}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\)
\(n_1+n_2+n_3=-3x_1^4\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)=-\frac{1458}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\)
Mặt khác: \(f_m^n\left(x\right)=12mx^2>0,\forall x\in\left(0;3\right)\),suy ra \(f_m\left(x\right)\) là hàm lồi trên khoảng \(\left(0;3\right)\).
Do đó, trên khoảng (0;3) đường cong \(\left(C_m\right)\) không nằm phía dưới tiếp tuyến \(\left(d_m\right)\),tức là \(f_m\left(x\right)\ge g_m\left(x\right),\forall x\in\left(0;3\right)\) (*)
Từ hệ thức (*),ta có:
\(a^4\ge ka+n_1\)
\(2b^4\ge kb+n_2\)
\(3c^4\ge kc+n_3\)
Cộng theo vế ta có:
\(P\ge k\left(a+b+c\right)+n_1+n_2+n_3\)
\(=3k+n_1+n_2+n_3\)
\(=\frac{486}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\)
Vậy GTNN của \(P=\frac{486}{\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{6}\right)^3}\) khi \(a=x_1;b=x_2;c=x_3\)
2/ Áp dụng BĐT BCS : \(25=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}.\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\frac{25}{\sqrt{2.5}}=\frac{5\sqrt{10}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\begin{cases}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y^3}}\\x=y\\x^2+y^2=5\end{cases}\) \(\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
Vậy MinP = \(\frac{5\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{\sqrt{10}}{2}\)
Mình học lớp 6 nên chẳng may có gì sai bạn(chị anh) sửa giúp em nhé:
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(2\sqrt{n}\right)^2\) (bình phương cả 2 vế)
=> \(2n+2\sqrt{n^2-a^2}< 4n\)
=>\(2\sqrt{n^2-a^2}< 2n\)
=>\(\sqrt{n^2-a^2}< n\)
=>n2 - a2 < n2 (bình phương cả 2 vế)
Vì |a|>0
=>a2 > 0
=> n2-a2 < n2
Vậy \(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< 2\sqrt{n}\)
câu b làm tương tự nhé:
Ta có:
\(\left(\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}\right)^2< \left(1+1\right)\left(n+a+n-a\right)=4n\)
\(\Rightarrow\sqrt{n+a}+\sqrt{n-a}< \sqrt{4n}=2\sqrt{n}\)
cm thì xong r` mà BĐT trên thì + biểu thức dưới là - là sao ??
Đề lỗi. Bạn lưu ý gõ đề bằng công thức toán để được hỗ trợ tốt hơn.
Câu a : Mình nghĩ là sai đề .
Câu b : Ta có :
\(\left(\sqrt{2}-1\right)^2=\sqrt{9}-\sqrt{8}\)
\(\Leftrightarrow2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow3-2\sqrt{2}=3-2\sqrt{2}\) ( Luôn đúng )
Vậy \(\left(\sqrt{2}-1\right)^2=\sqrt{9}-\sqrt{8}\) ( đpcm )