Question

[Bình Trần Thị]

a) chứng minh rằng a² + ab + b² >= 0 với mọi số thực a , b  ;  b) chứng minh rằng với 2 số thực a , b tùy ý , ta có a⁴ + b⁴ >= a³b + ab³

Answer 1

[Nguyễn Huy Thắng]

a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)

\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)

b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)