Question

[트란 투안 듀옹]

1.Trong một cuộc họp có 6 người.Người ta nhận thấy cứ 3 người bất kì thì có 2 người quen nhau.Chứng minh rằng 6 người luôn có 3 người đôi một quen nhau.

2.Cho dãy số 10;10^2;10^3....;10^10.CMR trong dãy số trên tồn taij 1 số chia 19 dư 1.

3.Cho 3 số ng tố lớn hơn 3. CMR tồn tại 2 số ng tố có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.

Answer 1

[Tuấn Nguyễn]

Bài 1:

 Các đại biểu tương ứng với 6 điểm A, B, C, D, E, F. Hai đại biểu X và Y nào đó mà quen nhau thì ta tô đoạn thẳng XY bằng màu xanh còn nếu X vá Y không quen nhau thì tô đoạn XY màu đỏ.

    Xét 5 đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF: Theo nguyên tắc Dirichlet thì tồn tại ba đoạn cùng màu. Giả sử AB, AC, AD màu xanh. Xét ba điểm B, C, D: vì 3 đại biểu nào cũng có hai người quen nhau suy ra một trong ba đoạn BC, CD, DB màu xanh.

     Giả sử BC màu xanh thì A, B, C đôi một quen nhau.

     Còn nếu AB, AC, AD màu đỏ thì B, C, D đôi một quen nhau.

Answer 2

[Tuấn Nguyễn]

Theo nguyên lý Di-rich-le ta suy ra: Tồn tại hai số trong 20 số khi chia cho 19 có cùng số dư. Suy ra hiệu của hai số đó chia hết cho 19.

Giả sử 10ⁿ, 10^m là hai số có cùng số dư khi chia cho 19 (1 ≤ n < m ≤ 20).

• 10^m – 10ⁿ ⋮ 19
• 10ⁿ.(10^m-n – 1) ⋮ 19, mà 10ⁿ không chia hết cho 19 nên suy ra:

10^m-n – 1 ⋮ 19

• 10^m-n – 1 = 19k (k ∈ N)
• 10^m-n = 19k + 1 (đpcm).