Question

[Nguyen Hai Bang]

1. Chứng minh rằng \(\frac{8.10^{2016}+2017}{9}\)là 1 số tự nhiên

2. Chứng minh rằng A= \(220^{11969}\)+  \(119^{69220}\)+  \(69^{220119}\) chia hết cho 102

Answer 1

[Nguyễn Thiên Kim]

\(1.\)Ta có: \(8.10^{2016}+2017=8.10...000+2017=80...000+2017=80...2017\)

Mà tổng các chữ số của số trên là:  \(8+0+...+2+0+1+7=18\)chia hết cho 9

\(\Rightarrow\)\(8.10^{2016}+2017\)chia hết cho 9

Vậy  \(\frac{8.10^{2016}+2017}{9}\)có giá trị là 1 số tự nhiên.

\(2.\)Ta có:   220 đồng dư với 0 (mod 2) nên \(220^{11969}\)đồng dư với 0 (mod 2)

                     119 đồng dư với 1 (mod 2) nên \(119^{69220}\)đồng dư với 1 (mod 2)

                     69 đồng dư với -1 (mod 2) nên \(69^{220119}\)đồng dư với -1 (mod 2)

Vậy A đồng dư với 0 (mod 2) suy ra A chia hết cho 2.

Mặt khác:   220 đồng dư với 1 (mod 3) nên \(220^{11969}\)đồng dư với 1 (mod 3)

                    119 đồng dư với -1 (mod 3) nên \(119^{69220}\)đồng dư với -1 (mod 3)

                    69  đồng dư với 0 (mod 3) nên \(69^{220119}\)đồng dư với 0 (mod 3)

Vậy A đồng dư với 0 (mod 3) suy ra A chia hết cho 3.

Ta lại có:   220 đồng dư với -1 (mod 17) nên \(220^{11969}\)đồng dư với -1 (mod 17)

                    119 đồng dư với 0 (mod 17) nên \(119^{69220}\)đồng dư với 0 (mod 17)

                    69  đồng dư với 1 (mod 17) nên \(69^{220119}\)đồng dư với 1 (mod 17)

Vậy A đồng dư với 0 (mod 17) suy ra A chia hết cho 17.

Vì 2, 3, 17 là các số nguyên tố  \(\Rightarrow\)A  chia hết cho 102 (vì 2.3.17 = 102).