Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(a^3+b^3+c^3-a-b-c=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)+\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)+\left(c-1\right)\)
Mà a(a-1)(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6
Tương tự Suy ra b(b-1)(b+1) chia hết cho 6 và c(c-1)(c+1) chia hết cho 6 nên (a^3+b^3+c^3)-(a+b+c) chia hết cho 6
a) \(\left(n+6\right)^2-\left(n-6\right)^2\)
\(=\left[\left(n+6\right)-\left(n-6\right)\right]\left[\left(n+6\right)+\left(n-6\right)\right]\)
\(=\left(n+6-n+6\right)\left(n+6+n-6\right)\)
\(=12.2n\)
\(=24n\)
Vì 24n chia hết cho 24 với mọi n
=> (n + 6)2 - (n - 6)2 chia hết cho 24 với mọi n thuộc Z (Đpcm)
b) P/s: Bài này cậu thiếu điều kiện n lẻ nên mình thêm vào mới giải được nha.
\(n^2+4n+3\)
\(=n^2+n+3n+3\)
\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)
\(=\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)
Vì n là số lẻ nên n = 2k + 1 ( k thuộc Z )
Thay n = 2k + 1 vào ta được
\(\left(n+3\right)\left(n+1\right)\)
\(=\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)
\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)
\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)\)
\(=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)
Vì (k + 2)(k + 1) là tích của hai số liên tiếp
=> (k + 2)(k + 1) chia hết cho 2
=> 4(k + 2)(k + 1) chia hết cho 8
=> n2 + 4n + 3 chia hết cho 8 với mọi số nguyên n lẻ ( Đpcm )
c) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)
\(=\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\left[\left(n+3\right)+\left(n-1\right)\right]\)
\(=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)\)
\(=4\left(2n+2\right)\)
\(=4.2\left(n+1\right)\)
\(=8\left(n+1\right)\)
Vì 8(n + 1) chia hết cho 8 với mọi n
=> (n + 3)2 - (n - 1)2 chia hết cho 8 với mọi n ( Đpcm )
a: a^3-a=a(a^2-1)
=a(a-1)(a+1)
Vì a;a-1;a+1 là ba số liên tiếp
nên a(a-1)(a+1) chia hết cho 3!=6
=>a^3-a chia hết cho 6
a) Sử dụng định lí Fermat nhỏ: Với mọi \(n\inℕ\), \(p\ge2\)là số nguyên tố. Ta luôn có \(n^p-n⋮7\)
Dễ thấy 7 là số nguyên tố. Do đó \(n^7-n⋮7\)
Có thể sự dụng pp quy nạp toán học hay biến đổi đẳng thức rồi sử dụng pp xét từng giá trị tại 7k+n với 7>n>0
b)Ta có: \(2n^3+3n^2+n=2n^3+2n^2+n^2+n\)
\(=n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)
Ta thấy n(n+1) chia hết 2. Chỉ cần chứng minh thêm đằng thức trên chia hết cho 3
Đặt n=3k+1 và n=3k+2. Tự thế vài và CM
c) Tương tự: \(n^5-5n^3+4n=n^3\left(n^2-1\right)-4n\left(n^2-1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^3-4n\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)n\left(n^2-4\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)
Sắp xếp lại cho trật tự: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Dễ thấy đẳng thức trên chia hết cho 5
Mà ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)
Và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮4\)
Và tích của hai số bất kì cũng chia hết cho 2
Vậy đẳng thức trên chia hết cho 3.4.2.5=120
Cậu cuối bn chứng minh cách tương tự. :)
Vì a không chia hết cho 3 => a có dạng 3k+1 hoặc 3k+2 (k thuộc Z)
- Nếu \(a=3k+1\Rightarrow a^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia 3 dư 1
- Nếu \(a=3k+2\Rightarrow a^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+1\) chia 3 dư 1
=> nếu a không chia hết cho thì a2 chia 3 dư 1 (1)
CM tương tự ta có nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1 (2)
Từ (1) và (2) => \(a^2-b^2⋮3\) (3)
Lại có: \(a^6-b^6=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)=\left(a^2-b^2\right)\left(a^4-2a^2b^2+b^4+3a^2b^2\right)=\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2\right]\)
Từ (3) => \(\left(a^2-b^2\right)^2⋮3\)
Mà \(3a^2b^2⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2⋮3\) (4)
Từ (3) và (4) => \(\left(a^2-b^2\right)\left[\left(a^2-b^2\right)^2+3a^2b^2\right]⋮3.3=9\) hay \(a^6-b^6⋮9\) (đpcm)
1)
a)251-1
=(23)17-1\(⋮\)23-1=7
Vậy 251-1\(⋮\)7
b)270+370
=(22)35+(32)35\(⋮\)22+32=13
Vậy 270+370\(⋮\)13
c)1719+1917
=(BS18-1)19+(BS18+1)17
=BS18-1+BS18+1
=BS18\(⋮\)18
d)3663-1\(⋮\)35\(⋮\)7
Vậy 3663-1\(⋮\)7
3663-1
=3663+1-2
=BS37-2\(⋮̸\)37
Vậy 3663-1\(⋮̸\)37
e)24n-1
=(24)n-1\(⋮\)24-1=15
Vậy 24n-1\(⋮\)15