Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo link này ạ: 1. Cho hình vuông ABCD , E là điểm nằm trên CD. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AE và BC. Qua E kẻ đường thẳng vuông... - Hoc24
Bạn tham khảo lời giải ở đường link sau nhé:
Câu hỏi của Thới Nguyễn Phiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
a.
Xét hai tam giác vuông ABE và ADH:
\(AD=AB\)
\(\widehat{BAE}=\widehat{DAH}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))
\(\Rightarrow\Delta_vABE=\Delta_vADH\) (góc nhọn-cạnh góc vuông) (1)
\(\Rightarrow AH=AE\)
\(\Rightarrow\Delta AHE\) vuông cân tại A
b. Cũng từ (1) ta có \(BE=DH\)
Xét hai tam giác vuông ABE và FDA có:
\(\widehat{BAE}=\widehat{AFD}\) (so le trong)
\(\Rightarrow\Delta_vABE\sim\Delta_vFDA\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{DF}=\dfrac{BE}{AD}\Rightarrow AB.AD=BE.DF\Rightarrow AB^2=HD.DF\) (do AD=AB và BE=HD)
c. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AH.AF\\S_{HAF}=\dfrac{1}{2}AD.HF\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AH.AF=AD.HF\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{HF}{AH.AF}\Rightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{HF^2}{AH^2.AF^2}=\dfrac{AH^2+AF^2}{AH^2.AF^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}\) (do AH=AE theo chứng minh câu a)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{a^2}\) cố định (đpcm)
a/Xét \(\Delta ADK\&\Delta ABF\) có:
\(\widehat{ADK}=\widehat{ABF}=90\)
\(\widehat{DAK}=\widehat{BAF}\) ( cùng phụ góc DAE)
AD=AB
Suy ra: \(\Delta ADK=\Delta ABF\left(gn-cgv\right)\Rightarrow AK=AF\)
\(\RightarrowĐPCM\)
b/Ta có: \(CK-CF=DK+CD-CF\)(1)
Mà ta có DK=BF ( 2 cạnh t-ư) và CD=BC nên
\(\left(1\right)\Rightarrow CK-CF=BF-CF+BC=2BC\)
Vậy ta cần CM: \(2AF.BC=BD.FK\Leftrightarrow\frac{AF}{FK}=\frac{BD}{2BC}\)
Có KAF vuông cân nên \(FK=\sqrt{2}AF\Rightarrow\frac{AF}{FK}=\frac{AF}{\sqrt{2}AF}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\)
Lại có ABCD là h/vuông nên BDC vuông cân nên
\(BD=\sqrt{2}BC\Rightarrow\frac{BD}{2BC}=\frac{\sqrt{2}BC}{2BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\)
(1) và (2) suy ra ĐPCM
2/ Cho AO cắt BC tại I, kẻ BE vuông góc AI
Ta có: \(S_{ABO}=\frac{1}{2}AO.BE\le\frac{1}{2}AO.BI\left(1\right)\)
Tương tự như trên ta cũng CM được: \(S_{AOC}\le\frac{1}{2}AO.CI\left(2\right)\)
Cộng (1) và (2) có: \(S_{ABOC}\le\frac{1}{2}AO.BC\)
\(\Rightarrow2S_{ABOC}\le OA.BC\left(3\right)\)
Tương tự ta cũng có: \(2S_{AOCB}\le OB.AC\left(4\right)\)
Và: \(2S_{AOBC}\le OC.AB\)(5)
Cộng \(\left(3\right),\left(4\right),\left(5\right)\Rightarrow4S_{ABC}\le OA.BC+OB.CA+OC.AB\)
Dấu bằng xảy ra khi O là trực tâm