Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\) ; \(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cộng vế:
\(VT\le\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
b.
\(VP=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{2\sqrt{4a\left(a+3b\right)}+2\sqrt{4b\left(b+3c\right)}+2\sqrt{4c\left(c+3a\right)}}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{4a+a+3b+4b+b+3c+4c+c+3a}\)
\(VP\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{8\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
đây là đề Prance Pre - Mo 2005
mình dùng pp đổi biến nhé bạn @@
Đặt \(a=\frac{xy}{z};b=\frac{yz}{x};c=\frac{xz}{y}\) (a,b,c >0)
Nên bài toán trở thành : \(ab+bc+ca=3\),CMR : \(a+b+c\ge3\)
Ta có bất đẳng thức sau :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca< =>a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
1. Sử dụng svacxo
hoặc bạn dùng hệ quả của cauchy
2. Lần sau bạn đừng gửi ảnh. Nó sẽ không hiện đâu
Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2-1\le\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ac}\) (1)
với a, b , c dương và a + b + c = 3
Ta có: \(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ac\right)=9-2t\)
Với \(t=ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)
Ta cần chứng minh: \(9-2t-1\le\frac{2\left(9-2t\right)}{t}\)(2)
<=> \(t^2-6t+9\ge0\)
<=> \(\left(t-3\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (2) đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> t = 3 <=> a + b + c = 1 và ab + bc + ac = 3 <=> a = b = c = 1
\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}-\left(a^2+b^2+c^2-1\right)=\frac{\left(a-b\right)^4+\left(b-c\right)^4+\left(c-a\right)^4}{9\left(ab+bc+ca\right)}\ge0\)