N
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
N
2
PN
4 tháng 6 2020
\(A=x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2=9\)
gtln của A = 9
Với \(x=y=z=1\)
easy không ? =)
8 tháng 6 2020
Có 0 <= x,y,z => xyz >= 0
Có x,y,z <=2 => (2-x)(2-y)(2-z)>=0 => 8 - 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) -xyz >=0
Từ đó => 8 - 4(a+b+c) +2(ab+bc+ca)>=0
=> 8 - 4(a+b+c) + (a+b+c)^2 >= a^2+b^2+c^2
=> 8 -4.3 +3^2 >=A (vì x+y+z=3)
=> 5>= A
Dấu "=" xảy ra khi x=2,y=1,z=0
Vậy Max A =5 khi x=2,y=1,z=0
E
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow8+2\left(xy+yz+zx\right)-4\left(x+y+z\right)-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge4+xyz\ge4\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge2\)
\(\Rightarrow Q=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le9-2.2=5\)
\(Q_{max}=5\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 11 2019
Lời giải:
Do $x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow xyz-2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4(x+y+z)-8+xyz$
Mà $4(x+y+z)-8+xyz=4.3-8+xyz=4+xyz\geq 4$ do $x,y,z\geq 0$
Do đó $2(xy+yz+xz)\geq 4$
Suy ra $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=9-2(xy+yz+xz)\leq 9-4=5$
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0)$ và các hoán vị.
T
19 tháng 11 2019
Có nhiều cách!
Cách 2:Giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow3x\ge x+y+z=3\Rightarrow2\ge x\ge1\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+2yz+z^2=x^2+\left(y+z\right)^2\)
\(=x^2+\left(3-x\right)^2=2x^2-6x+9\)
\(=2\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị
Vậy...
Cách 3: Dùng khai triển Abel: Câu hỏi của Thảo Lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (em không chắc lắm nhưng cứ đăng)
28 tháng 8 2019
\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)
\(=\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz-z^2}+\sqrt{x^2-2xz+z^2}\)
\(=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)
\(=x-y+y-z+z-x\)
\(=0\)
T
16 tháng 10 2019
Đặt \(a=x-y;b=y-z\) thì \(2\ge a,b\ge-2\) và a, b khác 0; \(a\ne-b\)( vì nếu a = -b thì a + b = 0 hay x -z = 0 => z - x = 0 (vô lí) )
Xét: \(2\ge a,b>0\) thì \(\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{\left(2+2\right)^2}=\frac{9}{16}\) vì khi đó a + b >0 nên (a+b)2 \(\le\left(2+2\right)^2=16\))
Xét \(-2\le a,b< 0\) thì a + b < 0 suy ra \(\left(a+b\right)^2< \left(-2+-2\right)^2=16\)
Từ 2 trường hợp trên ta suy ra \(\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{16}\).
Ta có: \(P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{2}{ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=\frac{9}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{16}\)
Vậy...
P/s: Em ko chắc. @Nguyễn Việt Lâm: Em làm thế này có đúng ko ạ? Em ko chắc chỗ xét 2 th ấy, có giải thích quá....:((
HF
8 tháng 10 2019
Câu 2, Do 0<x,y,z<=1 nên ta có:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy+1\ge x+y\\yz+1\ge y+z\\xz+1\ge x+z\end{cases}}}\)
Thay vào VT ta có:
\(VT\le\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=1\)(1)
Do x,y,z <= 1 nên x+y+z <=3 nên \(\frac{3}{x+y+z}\ge\frac{3}{3}=1\)(2)
Từ (1),(2) -> dpcm
T
9 tháng 10 2019
1/ Vai trò của a, b, c là bình đẳng, không mất tính tổng quát, giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge0\)
Khi đó \(3=a+b+c\le3a\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)
Ta có:
\(LHS=a^3+b^3+c^3\le a^3+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)\)
\(=a^3+\left(b+c\right)^3=a^3+\left(3-a\right)^3\)
\(=9a^2-27a+27=9\left(a-1\right)\left(a-2\right)+9\le9\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị.
P/s: Is that true?
31 tháng 12 2021
\(c,P=\dfrac{x^2-x^2+8xy-16y^2}{x^2+4y^2}=\dfrac{8\left(\dfrac{x}{y}\right)-16}{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+4}\)
Đặt \(\dfrac{x}{y}=t\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{8t-16}{t^2+4}\Leftrightarrow Pt^2+4P=8t-16\\ \Leftrightarrow Pt^2-8t+4P+16=0\)
Với \(P=0\Leftrightarrow t=2\)
Với \(P\ne0\Leftrightarrow\Delta'=16-P\left(4P+16\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow-P^2-4P+4\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{max}=-2+2\sqrt{2}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{P}=\dfrac{4}{-2+2\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y}=2+2\sqrt{2}\)
14 tháng 8 2020
ta chứng minh A>=2 (1) thật vậy
\(A\ge2\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge4\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge x^2+y^2+z^2+xyz\)
\(\Leftrightarrow2xy+2yz+2xz\ge xyz\)
từ giả thiết => \(0\le x;y;z\le2\)do đó \(2xy+2yz+2zx\ge2xy\ge xyz\)
vậy (1) được chứng minh. dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(2;0;0) và các hoán vị