Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC=12$ cm.

​a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}=2$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}.12=8$ (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EB+BA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}$.

Vậy $x=12$ (cm).

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AB=AC=12$ cm.

​a) Xét tam giác $ABC$, áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{DB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{CB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{6}=2$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$ suy ra $AD=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}.12=8$ (cm)

Do đó, $DB=12-8=4$ (cm).

b) Do $CE$ vuông góc với phân giác $CD$ nên $CE$ là phân giác ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ABC$.

Vậy $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$ hay $\genfrac{}{}{0ex}{}{EB}{EB+BA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BC}{AC}$

Gọi độ dài $EB$ là $x$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x+12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}$.

Vậy $x=12$ (cm).

Bạn xem lại đề. Có vẻ phương trình đã cho không đúng.

Lời giải:
$M=x^2+y^2+xy-x+y+2025$

$2M=2x^2+2y^2+2xy-2x+2y+4050$

$=(x^2+2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2+2y+1)+4048$

$=(x+y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2+4048\geq 0+0+0+4048 = 4048$
$\Rightarrow M\geq 2024$

Vậy $M_{\min}=2024$

Giá trị này đạt tại $x+y=x-1=y+1=0$

$\Leftrightarrow x=1; y=-1$

a/ Ta có

\(AB\perp AC\left(gt\right)\Rightarrow AM\perp AC;IN\perp AC\left(gt\right)\) => AM//IN

\(AC\perp AB\left(gt\right)\Rightarrow AN\perp AB;IM\perp AB\left(gt\right)\) => AN//IM

=> AMIN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMIN là HCN

b/

Ta co

AM//IN (cmt) =>AB//IK 

BK//AI (gt)

=> ABKI là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) => BK=AI (cạnh đối hbh)

c/

Xét tg vuông ABC có

\(AI^2=BI.CI\) (Trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow3AI^2=3.BI.CI\) (1)

Xét tg vuông MBI có 

\(BM^2=BI^2-MI^2\) (2) (Pitago)

Xét tg vuông NCI có

\(CN^2=CI^2-NI^2\) (3) (Pitago)

Cộng 2 vế của (1) (2) (3) ta có

\(3AI^2+BM^2+CN^2=BI^2+CI^2+3.BI.CI-\left(MI^2+NI^2\right)=\)

\(=\left(BI+CI\right)^2+BI.CI-\left(MI^2+NI^2\right)=\)

\(=BC^2+BI.CI-\left(MI^2+NI^2\right)\) (4)

Ta có

\(BI.CI=AI^2\left(cmt\right)\) (5)

Xét tg vuông AIN có

\(AI^2=AN^2+NI^2\)

Do AMIN là HCN (cnt) => AN=MI

\(\Rightarrow AI^2=MI^2+NI^2\) (6)

Thay (5) và (6) vào (4) ta có

\(3AI^2+BM^2+CN^2=BC^2+AI^2-AI^2\)

\(\Rightarrow BC^2=3AI^2+BM^2+CN^2\left(dpcm\right)\)

Bài `1`

\(a,5x^2-10xy=5x\left(x-2y\right)\\ b,3x\left(x-y\right)-6\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(3x-6\right)\\ =3\left(x-y\right)\left(x-2\right)\\ c,2x\left(x-y\right)-4y\left(y-x\right)=2x\left(x-y\right)+4y\left(x-y\right)\\ =\left(x-y\right)\left(2x+4y\right)=2\left(x-y\right)\left(x+2y\right)\\ d,9x^2-9y^2=\left(3x\right)^2-\left(3y\right)^2=\left(3x-3y\right)\left(3x+3y\right)\\ f,xy-xz-y+z=\left(xy-xz\right)-\left(y-z\right)\\ =x\left(y-z\right)-\left(y-z\right)=\left(y-z\right)\left(x-1\right)\)

Bài `3`

\(a,3x^2+8x=0\\ \Leftrightarrow x\left(3x+8\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\3x+8=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\3x=-8\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{8}{3}\end{matrix}\right.\)

\(b,9x^2-25=0\\ \Leftrightarrow\left(3x\right)^2-5^2=0\\ \Leftrightarrow\left(3x-5\right)\left(3x+5\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-5=0\\3x+5=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=5\\3x=-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{3}\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,x^3-16x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x^2-16\right)=0\\ \Leftrightarrow x\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\\x+4=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\\x=-4\end{matrix}\right.\)

\(d,x^3+x=0\\ \Leftrightarrow x\left(x^2+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1\in\varnothing\\x=0\end{matrix}\right.\Rightarrow x=0\)

a) (a - 2b)x(a + 2b)
b) x²-(y-3)²
 => (x-y+3)(x+y-3)
c) (2a + b - a)(2a + b + a)
=> (a+b)(3a+b)
d) (4(x - 1))² - (5(x + y))²
⇔ (4x - 4 - 5x - 5y)(4x - 4 + 5x + 5y)
⇔ -(x + 5y + 4)(9x + 5y + -4)
e) (x + 5)²
f) (5x - 2y)²
h) (x - 5)(x² + 5x + 25)

k) (x + 5)³

Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

Xét $\Delta BED$ có {��//����=��{​MI//EDME=BM​ suy ra $ID=IB$.

Xét $\Delta CED$ có {��//����=��{​NK//EDNC=ND​ suy ra $KE=KC$.

Suy ra $MI=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}ED$; $NK=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}ED$; $ED=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$.

$IK=MK-MI=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE=DE-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}DE$.

Vậy $MI=IK=KN$.