Ta có $\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(a+b{)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}(a-b{)}^2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}(a+b)$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Trương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}(b+c)$ và $\sqrt{c^2-ca+ca}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}(c+a)$.

Từ đó $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}(a+b+b+c+c+a)$

$=(a+b+c)=3$                                                                           

Vậy $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge 3$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b+c}{3}=1$.

Ta có $x^2+y^2+xy-3x-3y+3$

$=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+xy+1-x-y$

$=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(x-1)(y-1)\ge 0$                       

(do $a^2+ab+b^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(4a^2+4ab+4b^2)=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(2a+b{)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}{b}^2\ge 0$)

1) Có $a^2-ab+b^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(4a^2-4ab+4b^2)=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(2a-b{)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}{b}^2\ge 0$.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi {𝑏=02𝑎−𝑏=0{​b=02a−b=0​ 

hay $a=b=0$.

2) Có $a^2-ab+b^2=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(4a^2-4ab+4b^2)$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(a+b{)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}(a-b{)}^2\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}(a+b{)}^2$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Từ giả thiết $z\ge y\ge x\ge 0$ suy ra $x(x-y)(x-z)\ge 0$ (1).

Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung $z-y\ge 0$ (2) 

và ta có $y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)=(z-y)[z(z-x)-y(y-x)]$ (3)

Mà $z\ge y\ge x\ge 0$ nên $z\ge y\ge 0$ và $z-x\ge y-x\ge 0$, từ đó  

$z(z-x)\ge y(y-x)$ nên $z(z-x)-y(y-x)\ge 0$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra  $(z-y)[z(z-x)-y(y-x)]\ge 0$, kết hợp với (3) suy ra 

$y(y-z)(y-x)+z(z-x)(z-y)\ge 0$ (5).

Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.

Giả thiết đã cho tương đương với $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{ab}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{bc}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{ca}=6$. (1)

Ta có $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a}-1{)}^2\ge 0$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a^2}+1\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{a}$ nên 

$\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c^2}\ge 2(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c})-3$ (2)

Lại có $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b^2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{2}{ab}$ nên 

$2(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c^2})\ge 2(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{ab}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{bc}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{ca})$ (3)

Cộng (2) và (3) theo vế  và sử dụng (1)  ta có    

$3(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c^2})\ge 2(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{ab}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{bc}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{ca}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c})-3=2.6-3=9$ 

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{a^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{b^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{c^2}\ge 3$.

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là $x^6(x-1{)}^2+3(x^4-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{)}^2+(x-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{)}^2$.

Từ đó suy ra đpcm

Chú ý rằng $1+4=2+3$, ta đặt  $t=(x-1)(x-4)=x^2-5x+4$ thì 

$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6=t+2$

từ đó $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+1$

$=t(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1{)}^2\ge 0$

Dẳng thức chỉ xảy ra khi $t=-1$

hay $x^2-5x+4=-1$

$x^2-5x+5=0$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{5\pm \sqrt{5}}{2}$.

Chú ý rằng $x+y=1$ nên $(1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x})(1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{y})-9$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{(x+1)(y+1)-9xy}{xy}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2-8xy}{xy}$  

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{2(1-4xy)}{xy}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2((x+y{)}^2-4xy)}{xy}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{2(x-y{)}^2}{xy}\ge 0$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$.

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với $x+y$ ta được bất đẳng thức tương đương là

$x^5+y^5>(x^2+y^2)(x+y)$ (1)

Từ giả thiết $x>\sqrt{2}$ suy ra $x^2>2$ suy ra $x^5>2x^3$, từ đó   

$x^5+y^5>2(x^3+y^3)$

$=2(x^2-xy+y^2)(x+y)$

$=(x-y{)}^2+(x^2+y^2)(x+y)\ge (x^2+y^2)(x+y)$ suy ra (1), điều phải chứng minh.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   $2(\genfrac{}{}{0ex}{}{a^2}{b^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{b^2}{c^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{c^2}{a^2})\ge 2(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{b}+\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}+\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{c})$

Xét dấu hiệu $2(\genfrac{}{}{0ex}{}{a^2}{b^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{b^2}{c^2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{c^2}{a^2})-2(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{b}+\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a}+\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{c})$

$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}-\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{c}{)}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{c}-\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{a}{)}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{c}{a}-\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}{)}^2\ge 0$