Tứ giác $ABCD$ có $\hat{B}=\hat{D}=90^{\circ }$ nên $OA=OB=OC=OD$ (đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng nằm trên một đường tròn tâm $O$, đường kính $AC$.

Tam giác $ABC$ có hai đường cao $B{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ nên $\widehat{B{C}^{\prime }C}=\widehat{B{B}^{\prime }C}=90^{\circ }.$

Suy ra $OB=OC=O{B}^{\prime }=O{C}^{\prime }$ (đường cao ứng với cạnh huyền).

Do đó bốn điểm $B$, $C^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C$ cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có $OA=OB=OC=OD(=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BD)$.

Vậy bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ cùng thuộc $(O;\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AC)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông $ABC$, ta có: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=a^2+b^2$

Do đó $R=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$.

Gọi $O$ là trung điểm của $BC$.

Ta có $BD$ là đường cao nên $BD\perp AC$, hay tam giác $BCD$ vuông tại $D$.

Trong tam giác vuông $BCD$ có $DO$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên:

$OD=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(1)$

Tương tự ta có: $OE=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(2)$

Và $OF=OB=OC=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$ $(3)$

Từ $(1)$, $(2)$ và $(3)$ suy ra $OB=OC=OD=OD=OE=OF$.

Do đó năm điểm $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ cùng thuộc một đường tròn.

Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm của bốn cạnh $AB$, $BC$, $CD$ và $DA$ của hình thoi $ABCD$.

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có $AC\perp BD$.

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

$OM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AB$; $ON=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC$;

$OP=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}CD$; $OQ=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}AD$

Mặt khác $AB=BC=CD=DA$ nên $OM=ON=OP=OQ$.

Do đó bốn điểm $M$, $N$, $P$, $Q$ cùng nằm trên một đường tròn.

a) Vì hình vuông $ABCD$ có tâm $E$ suy ra $EA=EB=EC=ED$.

Do đó, các điểm $A$, $B$, $C$ và $D$ cùng thuộc một đường tròn tâm $E$.

Hai trục đối xứng của đường tròn là $AC$ và $BD$.

b) Cạnh hình vuông bằng $3$ cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=3\sqrt{2}$ suy ra $EA=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{2}}{2}$.

Vậy bán kính của đường tròn là $R=EA=\genfrac{}{}{0ex}{}{3\sqrt{2}}{2}$ cm.

a) Giả sử đường tròn $(O)$ có bán kính $R$ suy ra $OA=R$ $(1)$

Do $B$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$ suy ra $OA=OB$ $(2)$

Do $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$ suy ra $OA=OC$ $(3)$

Do $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$ suy ra $OB=OD$ $(4)$

Từ $(1)$, $(2)$, $(3)$ và $(4)$ suy ra $B$, $C$ và $D$ cùng thuộc $(O)$.

b) Ta thấy $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường, suy ra $ABCD$ là hình chữ nhật.

c) Ta thấy $OC=OD$ suy ra $d$ là đường trung trực của $CD$.

Suy ra $C$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$.

Vì ba tam giác $ADM,AEM,AHM$ có chung cạnh huyền $AM$ nên ba đỉnh góc vuông $D,E,H$ nằm trên đường tròn đường kính $AM$ có tâm là trung điểm của $AM$.

Vậy năm điểm $A,D,M,H,E$ cùng nằm trên một đường tròn.

Vì tam giác $ABC$ đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra $AM,BN,CP$ lần lượt vuông góc với $BC,AC,AB$.

$\Delta BPC$ là tam giác vuông, có $BC$ là cạnh huyền nên $MP=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC=BM=MC$ (1)

$\Delta BNC$ là tam giác vuông, có $BC$ là cạnh huyền nên $NM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC=BM=MC$ (2) 

Từ (1) và (2) suy ra $PM=NM=MB=MC$ hay các điểm $B,P,N,C$ cùng thuộc đường tròn, đường kính $BC=a$, tâm đường tròn là trung điểm $M$ của $BC$.

Xét tứ giác $MNPQ$, ta có: $MQ$ // $NP$ và $MN$ // $PQ$ suy ra $MNPQ$ là hình bình hành.

Kéo dài $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$.

Ta có: $\hat{C}+\hat{D}=90^{\circ }$ suy ra $\hat{E}=90^{\circ }$.

Lại có:$MN$ // $ED$ và $MQ$ // $EC$ suy ra $MN\perp MQ$

Do đó $MNPQ$ là hình chữ nhật suy ra $M,N,P,Q$ nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.