Với các số thực dương x và y thỏa mãn x + y + xy = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 3/(x + y) - xy
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có: \(mx+7=6\) (1) (m ≠ 0)
\(\Leftrightarrow mx=-1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{m}\)
Lại có: \(\frac{x}{2}+m=1\) (2)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{2}=1-m\)
\(\Leftrightarrow x=2-2m\)
Để 2 phương trình (1) và (2) có nghiệm bằng nhau thì:
\(\frac{-1}{m}=2-2m\\\Leftrightarrow2m-2-\frac{1}{m}=0\\\Leftrightarrow 2m^2-2m-1=0(\text{vì }m\ne0)\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{} m=\frac{1+\sqrt3}{2}(tmdk)\\ m=\frac{1-\sqrt3}{2}(tmdk) \end{array} \right. \)
$\text{#}Toru$
Ta có pt(1):
\(mx+7=6\left(m\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow mx=6-7=-1\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{m}\)
Pt(2) \(\dfrac{x}{2}+m=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2}=1-m\)
\(\Leftrightarrow x=2\left(1-m\right)=2-2m\)
Vì 2 phương trình có nghiệm bằng nhau nên:
\(-\dfrac{1}{m}=2-2m\)
\(\Leftrightarrow-1=m\left(2-2m\right)\)
\(\Leftrightarrow-1=2m-2m^2\)
\(\Leftrightarrow2m^2-2m-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\\m=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\left(tm\right)\)
Vậy: ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có pt(1): \(mx+7=6\left(m\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow mx=6-7\)
\(\Leftrightarrow mx=-1\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{m}\)
pt(2): \(\dfrac{x}{2+m}=1\left(m\ne-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x=1\cdot\left(2+m\right)=m+2\)
Vì 2 pt có 2 nghiệm bằng nhau nên ta có:
\(-\dfrac{1}{m}=m+2\)
\(\Leftrightarrow-1=m\left(m+2\right)\)
\(\Leftrightarrow-1=m^2+2m\)
\(\Leftrightarrow m^2+2m+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow m+1=0\)
\(\Leftrightarrow m=-1\left(tm\right)\)
Vậy: ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(xy< =\dfrac{x^2+y^2}{2}\)
=>\(xy< =\dfrac{2}{2}=1\)
=>xy+1<=2
Dấu '=' xảy ra khi xy=1
=>\(x=\dfrac{1}{y}\)
\(\left(x+y\right)\left(1+xy\right)^3=16\)
=>\(\left(y+\dfrac{1}{y}\right)\left(1+1\right)^3=16\)
=>\(y+\dfrac{1}{y}=2\)
=>y=1
=>x=1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi chiều rộng là x(m)
(Điều kiện: x>0)
Chiều dài là x+2(m)
Diện tích là 80m2 nên x(x+2)=80
=>\(x^2+2x-80=0\)
=>(x+10)(x-8)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-10\left(nhận\right)\\x=8\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Chiều dài là 8+2=10(m)
Chu vi là \(\left(8+10\right)\cdot2=36\left(m\right)\)
Gọi chiều dài của HCN là x (m)
ĐK: x>0
Chiều rộng là: \(x-2\left(m\right)\)
HCN có diện tích là 80 `m^2` nên ta có pt:
\(x\left(x-2\right)=80\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-80=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-10x+8x-80=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-10\right)+8\left(x-10\right)=0\Leftrightarrow\left(x+8\right)\left(x-10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-8\left(ktm\right)\\x=10\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Chiều rộng HCN là: \(10-2=8\left(m\right)\)
Chu vi HCN là: `(10+8) xx 2 = 36 (m)`
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A = \(x^2\) + 5\(x\) - 6
A = \(x^2\) - \(x\) + 6\(x\) - 6
A = (\(x^2\) - \(x\)) + (6\(x\) - 6)
A = \(x\).(\(x-1\)) + 6.(\(x-1\))
A = (\(x\) - 1).(\(x\) + 6)
Ta có \(x+y+xy=3\Leftrightarrow-xy=x+y-3\). Khi đó \(P=\dfrac{3}{x+y}+x+y-3\)
Đặt \(x+y=t\left(t>0\right)\). Khi đó: \(P=\dfrac{3}{t}+t-3\)
Lại có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow3=x+y+xy\le\left(x+y\right)+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\) \(=t+\dfrac{t^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow t^2+4t\ge12\) \(\Leftrightarrow t\ge2\)
Khi đó \(P=\dfrac{3}{t}+t-3=\dfrac{3}{t}+\dfrac{3}{4}t+\dfrac{t}{4}-3\)
\(\ge2\sqrt{\dfrac{3}{t}.\dfrac{3}{4}t}+\dfrac{2}{4}-3\) (chú ý rằng \(t\ge2\))
\(=2.\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-3\)
\(=\dfrac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=2\\\dfrac{3}{t}=\dfrac{3}{4}t\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=2\) \(\Leftrightarrow x+y=2\) \(\Rightarrow xy=1\)
\(\Rightarrow x=y=1\)
Vậy \(minP=\dfrac{1}{2}\) khi \(x=y=1\)