M = 4 . x ² + 4x + 5 

    = ( 2x ) ² + 2 . 2 . x + 1 + 4

    = ( 2x + 1 ) ² + 4 \(\ge\)4

Dấu " = " xảy ra khi 2x + 1 = 0 \(\Leftrightarrow\)x = \(-\frac{1}{2}\)

Vậy M đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại x = \(-\frac{1}{2}\)

\(M=4x^2+4x+5\)

\(M=4.\left(x^2+x\right)+5=4.\left(x^2+\frac{2.x.1}{2}+\frac{1}{4}\right)+4\)

\(M=4.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+4\ge4\)

dấu  = xảy ra khi \(x+\frac{1}{2}=0\)

\(\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

\(M_{min}=4\)khi \(x=-\frac{1}{2}\)

p/s: bn viết sai đề rồi

a) cm tứ giác MNCP là hình bình hành

 Xét \(\Delta AHB\)có:

 MA = MH ( vì M là trung điểm của AH )

 NH = NB ( vì N là trung điểm của BH )

Vậy => MN là đường trung bình của \(\Delta AHB\)

=> MN // AB và MN = 1/2 AB

Mà AB = CD ( vì ABCD là hình chữ nhật )

Vậy => MN // CD và MN = 1/2 CD

                         mà PC = 1/2 CD ( Vì P là trung điểm của CD )

                           Vậy => MN // CP và MN = CP

                                  => MNCP là hình bình hành

b) cm N là trực tâm của \(\Delta MBC\)

 Vì MNCP là hình bình hành ( theo cm phần a )

=> MN // CP 

Mà \(CP\perp BC\)( vì ABCD là hình chữ nhật )

 Vậy => \(MN\perp BC\)

Xét \(\Delta CMB\)có

BH và MN cắt nhau tại M

\(MN\perp CB\left(cmt\right)\)

\(BH\perp MC\left(theogt\right)\)

Vậy => N là trực tâm của \(\Delta MBC\)

c) cm MP vuông góc với MB

Vì N là trực tâm của \(\Delta MBC\)( theo cm phần b )

=> \(CN\perp MB\)

Mà \(CN//MP\)( vì MNCP là hình bình hành )

 Vậy => \(MB\perp MP\)

d) gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của AC và NP 

cm 2( MI - IJ ) < NP

Vì \(MB\perp MP\)( theo cm phần c )

=> \(\Delta BMP\)vuông tại M 

Mà I là trung điểm của BP

 Vậy => MI = IB = IP = 1/2 BP

Xét \(\Delta IJP\)có:

( IP - IJ ) < JP

=> 2(IP - IJ) < 2JP

mà IP = IP ( theo cmt )

2JP = PN ( vì I là trung điểm của PN )

Vậy => 2(MI - IJ) < NP

f(x) = x³ - 3x² - 3x - 1 ⋮ x² + x + 1

f(x) = x³ + x² - 4x² + x - 4x - 4 + 3 ⋮ x² + x + 1

f(x) = ( x³ + x² + x ) - ( 4x² + 4x + 4 ) + 3 ⋮ x² + x + 1

f(x) = x ( x² + x + 1 ) - 4 ( x² + x + 1 ) + 3 ⋮ x² + x + 1

f(x) = ( x² + x + 1 ) ( x - 4 ) + 3 ⋮ x² + x + 1

Mà ( x² + x + 1 ) ( x - 4 ) ⋮ x² + x + 1

=> 3 ⋮ x² + x + 1

=> x² + x + 1 thuộc Ư(3) = { 1; 3; -1; -3 }

Tự thay vào rồi tìm x thôi bạn 

VD :

x² + x + 1 = 1

<=> x² + x = 0

<=> x ( x + 1 ) = 0

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+1=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}}\)

Xét tiếp 3 t/h còn lại nha bạn

\(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^5+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{x+1-x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{2}{x^2-1}-\frac{2}{x^2+1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{2\left(x^2+1\right)-2.\left(x^2-1\right)}{x^2-1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{2x^2+2-2x^2+2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{4}{x^4-1}-\frac{4}{x^4+1}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{4\left(x^4+1\right)-4\left(x^4-1\right)}{\left(x^4-1\right)\left(x^4+1\right)}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{8}{x^8-1}-\frac{8}{x^8+1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{8.\left(x^8+1\right)-8\left(x^8-1\right)}{\left(x^8-1\right)\left(x^8+1\right)}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{16}{x^{16}-1}-\frac{16}{x^{16}+1}\)

\(=\frac{16.\left(x^{16}+1\right)-16.\left(x^{16}-1\right)}{\left(x^{16}-1\right)\left(x^{16}+1\right)}\)

\(=\frac{32}{x^{32}-1}\)

a)\(M=\frac{y^4+1}{x^2y^4+2y^4+x^2+2}\)

\(M=\frac{y^4+1}{y^4\left(x^2+2\right)+\left(x^2+2\right)}\)

\(M=\frac{y^4+1}{\left(y^4+1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(M=\frac{1}{\left(x^2+2\right)}\left(y^4+1\ne0\right)\)

b) M<1 thì phải~

Ta có: \(x^2\ge0\forall x\Rightarrow x^2+2\ge2\forall x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2+2}\le\frac{1}{2}< 1\)

\(\Rightarrow M< 1\)

   đpcm

Ta có: \(M\le\frac{1}{2}\)( ý b)

\(M=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^2+2=2\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy \(M_{max}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=0\)

Tham khảo nhé~

Với mọi x; y thì phân thức M đều xác định ( vì mẫu lớn hơn 0 )

a) \(M=\frac{y^4+1}{x^2y^4+2y^4+x^2+2}\)

\(M=\frac{y^4+1}{y^4\left(x^2+2\right)+\left(x^2+2\right)}\)

\(M=\frac{y^4+1}{\left(x^2+2\right)\left(y^4+1\right)}\)

\(M=\frac{1}{x^2+2}\)

b) *đề phải là c/m M luôn bé hơn 1*

Dễ thấy \(x^2+2>1\forall x\)

\(\Rightarrow M< 1\forall x;y\) ( vì tử số bé hơn mẫu số )

c) \(M=\frac{1}{x^2+2}\)

Vì \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow M\le\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy M_max = 1/2 khi và chỉ khi x = 0

\(B=\frac{x+2}{x+3}\cdot\frac{x+3}{x+4}:\frac{x+4}{x+5}\cdot\frac{\left(x+4\right)^2}{x+5}\)

\(B=\frac{x+2}{x+3}\cdot\frac{x+3}{x+4}\cdot\frac{x+5}{x+4}\cdot\frac{\left(x+4\right)^2}{x+5}\)

\(B=\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+5\right)\left(x+4\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)}\)

\(B=\frac{x+2}{1}\)

\(B=x+2\)

\(B=\frac{x+2}{x+3}.\frac{x+3}{x+4}.\frac{x+4}{x+5}.\frac{\left(x+4\right)^2}{x+5}\)

\(B=\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+4\right)^2}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)\left(x+5\right)}\)

\(B=\frac{\left(x+2\right)\left(x+4\right)^2}{\left(x+5\right)^2}\)

Đặt biểu thức cần tìm =A

Theo bài ra ta có:

A=2.1+3.(-1)+...+199(-1)+200.1

 =2-3+4-5+...-199+200

 =(-1)+(-1)+...+(-1)+200(có [(200-2):2=99 số -1]

 =-99+200

 =101

Đặt \(A=2x^2+3x^3+4x^4+....+199x^{199}+200x^{200}\)

\(=\left(2x^2+4x^4+...+200x^{200}\right)+\left(3x^3+5x^5+...+199x^{199}\right)\)

vì \(x=-1\)

\(\Rightarrow A=\left(2+4+...+200\right)-\left(3+5+...+199\right)\)

\(A=10100-9999=101\)

p/s:1cách nữacủa bài này =))

\(4x^3-3x^2+5x-21=4x^3-7x^2+4x^2-7x+12x-21\)

\(=x^2\left(4x-7\right)+x\left(4x-7\right)+3\left(4x-7\right)=\left(4x-7\right)\left(x^2+x+3\right)\)

\(\frac{x^2+y^2+z^2-2xy-2yz+2zx}{x^2-2xy+y^2-z^2}=\frac{\left(x-y+z\right)^2}{\left(x-y\right)^2-z^2}=\frac{\left(x-y+z\right)^2}{\left(x-y-z\right)\left(x-y+z\right)}=\frac{x-y+z}{x-y-z}\)