\(=2012.\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2011.2012}\right)\)

\(=2012.\left(\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{2012-2011}{2011.2012}\right)\)

\(=2012.\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\right)\)

\(=2012.\left(1+\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+...+\left(-\frac{1}{2011}+\frac{1}{2011}\right)-\frac{1}{2012}\right)\)

\(=2012.\left(1-\frac{1}{2012}\right)=\frac{2012.2011}{2012}=2011\)

Lời giải:

$M=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}....\frac{99}{100}$

$=\frac{1.2.3.4....99}{2.3.4...100}=\frac{1}{100}$

Hiển nhiên $\frac{1}{15}> \frac{1}{100}> \frac{1}{110}$ nên ta có đpcm.

** Sửa đề: CMR: $\frac{1}{15}> M> \frac{1}{110}$

Vì khi nhân với \(\frac{5}{12};\frac{10}{21}\)đều được thương là số tự nhiên nên số tự nhiên \(a\)chia hết cho \(12\)và \(21\)

\(\Rightarrow a\)là \(BCNN\left(12;21\right)\)

Có :

\(12=2^2.3\)

\(21=3.7\)

\(\Rightarrow BCNN\left(12;21\right)=2^2.3.7=84\)

Vậy \(a=84.\)

là 84 đó bạn

20^2x có tận cùng là 0

12^2x=144^x;2012^2x=4048144^x

xét x=2k+1 thì ta có: 144^(2k+1)=144^2k*144=20726^k*144 có tận cùng là 4

4048144^(2k+1)=(...6)^2*4048144 có tận cùng là 4 

suy ra số đã cho có tận cùng là 8 không phải là số chính phương (1)

xét x=2k thì ta có:144^2k=20736^k có tận cùng là 6

4948144^2k=(...6)^k có tận cùng là 6

suy ra số đã cho có tận cùng là 2 không phải là số chính phương (2)

từ(1) và (2) suy ra không có số x

có tồn tại hoặc ko

Lời giải:
Với $y=1$ thì $x^2=1\Rightarrow x=1$ (tm) 

Với $y=2$ thì $x^2=1!+2!=3$ (loại vì 3 không là scp) 

Với $y=3$ thì $x^2=1!+2!+3!=9\Rightarrow x=3$ (tm) 

Với $y=4$ thì $x^2=1!+2!+3!+4!=33$ (loại vì 33 không là scp) 

Với $y\geq 5$ thì mọi số $y!$ đều chia hết cho 5 do có chứa thừa số
 5.

$1!+2!+3!+4!=33$ chia 5 dư 3

$\Rightarrow 1!+2!+3!+...+y!$ chia 5 dư 3.

Mà 1 scp chia 5 chỉ dư 0,1 hoặc 4.

Do đó với $y\geq 5$ thì $1!+2!+3!+....+y!$ không thể là scp (loại)

Vậy $(x,y)=(1,1); (3,3)$

Lời giải:

$A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+....+\frac{1}{n(n+1)}$

$=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+....+\frac{(n+1)-n}{n(n+1)}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
Ta có đpcm.

\(\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}\)

\(\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}\)

\(\frac{-16}{11}=-1\frac{5}{11}\)

1

8/8+8/8-3/3*1/1=1+1-1*1=1+1-1=2-1=1

Lời giải:

Gọi $d=ƯCLN(n+19, n-2)$

$\Rightarrow n+19\vdots d; n-2\vdots d$

$\Rightarrow (n+19)-(n-2)\vdots d$

$\Rightarrow 21\vdots d$

Để phân số đã cho tối giản, thì $(21,d)=1$, hay $(3,d)=(7,d)=1$

Để $(d,3)=1$ thì $n-2\not\vdots 3$

$\Rightarrow n\neq 3k+2$

Để $(d,7)=1$ thì $n-2\not\vdots 7$

$\Rightarrow n\neq 7m+2$

Vây $n$ không chia 3 dư 2 và không chia 7 dư 2 thì phân số trên tối giản.