x và y tỉ lệ thuận

=>\(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}\)

=>\(\dfrac{y_1}{6}=\dfrac{y_2}{-9}\)

=>\(\dfrac{y_1}{2}=\dfrac{y_2}{-3}\)

mà \(y_1-y_2=10\)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{y_1}{2}=\dfrac{y_2}{-3}=\dfrac{y_1-y_2}{2-\left(-3\right)}=\dfrac{10}{5}=2\)

=>\(y_1=2\cdot2=4;y_2=2\cdot\left(-3\right)=-6\)

Bởi vì nhờ có chính sách đối nội khéo léo, tinh tế của nhà Trần, bên cạnh đó còn là do vua Trần rất chịu khó chăm sóc đời sống của nhân dân nên xã hội nhà Trần tuy vẫn còn nhiều mâu thuẫn giai cấp nhưng vẫn giữ được yên bình, thuận hòa.

a) Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\Rightarrow\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}\left(dpcm\right)\)

b) Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{b-a}{d-c}\Rightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{d-c}{c}\left(dpcm\right)\)

c) Ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{2b}{2d}=\dfrac{a-2b}{c-2d}\Rightarrow\dfrac{a-2b}{b}=\dfrac{c-2d}{d}\left(dpcm\right)\)

a) f(x) = 2x³ - x⁵ + 3x⁴ + x² - 1/2 x³ + 3x⁵ - 2x² - x⁴ + 1

= (-x⁵ + 3x⁵) + (3x⁴ - x⁴) + (2x³ - 1/2 x³) + (x² - 2x²) + 1

= 2x⁵ + 2x⁴ + 3/2 x³ - x² + 1

b) Bậc của f(x) là 5

c) f(1) = 2.1⁵ + 2.1⁴ + 3/2 . 1 - 1² + 1

= 2 + 2 + 3/2 - 1 + 1

= 11/2

f(-1) = 2.(-1)⁵ + 2.(-1)⁴ + 3/2 . (-1) - (-1)² + 1

= -2 + 2 - 3/2 - 1 + 1

= -3/2

\(\left(3x-4y\right)^4>=0\forall x,y\)

\(\left|3y-4z\right|^5>=0\forall y,z\)

\(\left|x^2+y^2+z^2-1\right|>=0\forall x,y,z\)

Do đó: \(\left(3x-4y\right)^4+\left|3y-4z\right|^5+\left|x^2+y^2+z^2-1\right|>=0\forall x,y,z\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x-4y=0\\3y-4z=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\\\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{3}\\x^2+y^2+z^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{16}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{9}\\x^2+y^2+z^2=1\\\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\dfrac{x}{16}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{9}=k\)

=>\(x=16k;y=12k;z=9k\)

\(x^2+y^2+z^2=1\)

=>\(256k^2+144k^2+81k^2=1\)

=>\(481k^2=1\)

=>\(k^2=\dfrac{1}{481}\)

=>\(k=\pm\dfrac{1}{\sqrt{481}}\)

TH1: \(k=\dfrac{1}{\sqrt{481}}\)

=>\(x=16\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{16}{\sqrt{481}};y=12\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{12}{\sqrt{481}};z=9\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{9}{\sqrt{481}}\)

TH2: \(k=-\dfrac{1}{\sqrt{481}}\)

=>\(x=-16\cdot\dfrac{1}{\sqrt{481}}=\dfrac{-16}{\sqrt{481}};y=12\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{481}}=\dfrac{-12}{\sqrt{481}};z=9\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{481}}=\dfrac{-9}{\sqrt{481}}\)

\(\dfrac{2}{3}:\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3-9=\dfrac{23}{3}\)

=>\(\dfrac{2}{3}:\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{23}{3}+9=\dfrac{50}{3}\)

=>\(\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{2}{3}:\dfrac{50}{3}=\dfrac{2}{50}=\dfrac{1}{25}\)

=>\(x-\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{5}\)

=>\(x=\dfrac{\sqrt[3]{5}}{5}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sqrt[3]{5}+5}{15}\)

a) Do K là trung điểm của BC (gt)

⇒ KB = KC

Xét ∆AKB và ∆AKC có:

AK là cạnh chung

AB = AC (gt)

KB = KC (cmt)

⇒ ∆AKB = ∆AKC (c-c-c)

⇒ ∠AKB = ∠AKC (hai góc tương ứng)

Mà ∠AKB + ∠AKC = 180⁰ (kề bù)

⇒ ∠AKB = ∠AKC = 180⁰ : 2 = 90⁰

⇒ AK ⊥ BC

b) Do ∆ABC vuông tại A (gt)

AB = AC (gt)

⇒ ∆ABC vuông cân tại A

⇒ ∠ABC + ∠ACB = 90⁰

⇒ ∠ABC = ∠ACB = 90⁰ : 2 = 45⁰

⇒ ∠ACE = 90⁰ - ∠ACB

= 90⁰ - 45⁰

= 45⁰

⇒ ∠ACE = ∠ACB = 45⁰

⇒ CA là tia phân giác của ∠BCE

⇒ CA là đường phân giác của ∆BCE

Lại có CA ⊥ AB (∆ABC vuông tại A)

⇒ CA ⊥ BE

⇒ CA là đường cao của ∆BCE

∆BCE có:

CA là đường cao của ∆BCE

CA là đường phân giác của ∆BCE

⇒ ∆BCE cân tại C

⇒ CE = CB

c) ∆AKB vuông tại K

⇒ ∠KAC + ∠ACK = 90⁰

⇒ ∠KAC = 90⁰ - ∠ACK

= 90⁰ - ∠ACB

= 90⁰ - 45⁰

= 45⁰

⇒ ∠KAC = ∠ACK = 45⁰

⇒ ∆AKC cân tại K

⇒ AK = KC

Mà KC < BC (do K là trung điểm của BC)

⇒ AK < BC

Mà BC = EC (cmt)

⇒ AK < EC