`(x-6)^4 +(x-8)^4 =16`

`<=> (x-6)^4 +(x-8)^4 =2^4`

`<=> x-6 +x-8 =2`

`<=> 2x - 14=2`

`<=>2x= 16`

`<=>x=8`

Đặt : \(x-7\text{=}y\)

\(\Rightarrow pt\) chỉ còn : 

\(\left(y+1\right)^4+\left(y-1\right)^4\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow y^4+4y^3+6y^2+4y+1+y^4-4y^3+6y^2-4y+1\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow2y^4+12y^2+2\text{=}16\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2+1\text{=}8\)

\(\Leftrightarrow y^4+6y^2-7\text{=}0\)

Đặt : \(y^2\text{=}z\ge0\)

\(\Rightarrow z^2+6z-7\text{=}0\)

\(\Leftrightarrow\left(z-1\right)\left(z-7\right)\text{=}0\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}\left\{{}\begin{matrix}-7\\1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}-7\left(loai\right)\)

\(\Leftrightarrow z\text{=}1\Rightarrow y\text{=}\pm1\)

\(\Leftrightarrow x\text{=}\left\{{}\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(P\text{=}\dfrac{5x-9}{x-3}\text{=}\dfrac{5x-15+6}{x-3}\)

\(\Rightarrow P\text{=}\dfrac{5x-15}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}\)

\(\Rightarrow P\text{=}\dfrac{5\left(x-3\right)}{x-3}+\dfrac{6}{x-3}\text{=}\dfrac{6}{x-3}+5\)

\(\Rightarrow P_{max}\Leftrightarrow x-3\text{=}1\Leftrightarrow x\text{=}4\)

\(\Rightarrow P_{max}\text{=}9\Leftrightarrow x\text{=}4\)

\(\Rightarrow P_{min}\Leftrightarrow x-3\text{=}-1\Leftrightarrow x\text{=}2\)

\(\Rightarrow P_{min}\text{=}-1\Leftrightarrow x\text{=}2\)

Theo đề ra, ta có:

Bán kính hình tròn B gấp 3 lần bán kính hình tròn A

Mà ta có công thức tính chu vi hình tròn là: Bán kính \(\times2\times3,14\)

\(\Rightarrow\) Chu vi của hình tròn B cũng gấp 3 lần chu vi hình tròn A

Mà mỗi khi lăn được một vòng, hình tròn A lại đi được một quãng đường bằng đúng chu vi của nó

\(\Rightarrow\) Để lăn xung quanh hình tròn B, hình tròn A phải thực hiện 3 vòng quay để quay lại điểm xuất phát.

ĐKXĐ : \(x\inℝ\)

Ta có : \(\dfrac{x^2+4x+5}{x^2-x+5}-\dfrac{3x}{x^2-3x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{5x}{x^2-x+5}-\dfrac{3x}{x^2-3x+5}=1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(\dfrac{5}{x^2-x+5}-\dfrac{3}{x^2-3x+5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\dfrac{5}{x^2-x+5}=\dfrac{3}{x^2-3x+5}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) <=> 5(x² - 3x + 5) = 3(x² - x + 5)

<=> 2x² - 12x + 10 = 0

<=> x² - 6x + 5 = 0

<=> (x - 1)(x - 5) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{0;1;5\right\}\)

`@` Thay `m=3` vào ptr có: `x^2-3x+3-1=0<=>x^2-3x+2=0`

      Ptr có: `a+b+c=1-3+2=0=>x_1 =1;x_2=-2`

`@` Ptr có: `\Delta=(-m)^2-4m+4=m^2-4m+4=(m-2)^2 >= 0` (Luôn đúng `AA m`)

   `=> AA m` ptr luôn có nghiệm.

______________________________

    `x^2-2mx+m=7<=>x^2-2mx+m-7=0`

Ptr có: `\Delta'=(-m)^2-m+7=m^2-m+7=(m-1/2)^2+27/4 > 0 AA m`

  `=>` Ptr có `2` nghiệm pb `AA m`

\(A;D \in (O)=>OA=OD=>\triangle OAD\) cân tại \(O=>\widehat{A}=\widehat{ADO}\)

Xét `(O)` có: \(\widehat{A}=\widehat{CDB}\)     `(1)`

Xét \(\triangle DOC\) vuông tại `D` có: \(\widehat{BCD}+\hat{DOB}=90^{o}\)    `(2)`

Xét \(\triangle ADO\) có: \(\widehat{DOB}=\widehat{A}+\hat{ADO}=2\widehat{A}\) `(3)`

Từ \((1);(2);(3)=>\wide{BCD}+2\widehat{CDB}=90^{o}\)

a)

\(x=-2\) là nghiệm của phương trình

\(\Rightarrow\left(-2\right)^2-\left(-2\right).\left(m-1\right).\left(-2\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow4+4\left(m-1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow m-1=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)

\(x^2-2\left(m-1\right)x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{2}x-3=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(2x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\\2x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

b)

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+12x>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Có:

 \(Q=x_1^3x_2+x_1x_2^3-5x_1x_2\)

\(=x_1x_2.\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-5x_1x_2\)

\(=-3\left[4\left(m-1\right)^2+6\right]+15\)

\(=-12\left(m-1\right)^2-3\)

Mà \(-12\left(m-1\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow-12\left(m-1\right)^2-3\le-3\)

\(Max_Q=-3\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1\).

`a)` Thay `x=-2` vào ptr có:

   `(-2)^2-2(m-1).(-2)-3=0<=>m=3/4`

Thay `m=3/4` vào ptr có: `x^2-2(3/4-1)x-3=0<=>x^2+1/2x-3=0`

             `<=>2x^2+x-6=0<=>(x+2)(2x-3)=0<=>[(x=-2),(x=3/2):}`

`b)` Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

            `<=>[-(m-1)]^2+3 >= 0<=>(m-1)^2+3 >= 0` (LĐ `AA m`)

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m-2),(x_1 .x_2=c/a=-3):}`

Có:`Q=x_1 ^3 x_2+x_1 x_2 ^3 -5x_1 x_2`

`<=>Q=x_1 x_2(x_1 ^2+x_2 ^2)-5x_1 x_2`

`<=>Q=x_1 x_2[(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2]-5x_1 x_2`

`<=>Q=-3[(2m-2)^2-2.(-3)]-5.(-3)`

`<=>Q=-3(2m-2)^2-18+15`

`<=>Q=-3(2m-2)^2-3`

Vì `-3(2m-2)^2 <= 0<=>-3(2m-2)^2-3 <= -3 AA m`

  `=>Q <= -3 AA m`

Dấu "`=`" xảy ra `<=>2m-2=0<=>m=1`

Vậy GTLN của `Q` là `-3` khi `m=1`