Câu I. (2,0 điểm)
Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-3}{x-1}$, với $x \geq 0, x \neq 1$.
1. Rút gọn biểu thức $P$.
2. Tìm các giá trị của $x$ để $\dfrac{1}{P}=\dfrac{4}{3}$.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A
15 tháng 4 2023
\(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-\left(2m-2\right)\)
= m2 + 2m + 1 - 2m + 2 = m2 + 3 > 0 (vì m2 ≥ 0)
⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)
Ta có: x12 + x22 + 3x1x2 = 25
⇔ (x1 + x2)2 - 2x1x2 + 3x1x2 = 25
⇔ (x1 + x2)2 + x1x2 = 25
⇔ [2(m + 1)]2 + (2m - 2) = 25
⇔ 4m2 + 8m + 4 + 2m - 2 - 25 = 0
⇔ 4m2 + 10m - 23 = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{-5+3\sqrt{13}}{4}\\m=\dfrac{-5-3\sqrt{13}}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy m = ...
XO
12 tháng 4 2023
a) x2 + 2x + m - 1 = 0 (1)
Với m = 2 ta có (1) trở thành
x2 + 2x + 1 = 0
Có \(\Delta=2^2-4.1.1=0\) nên phương trình nghiệm kép
\(x_1=x_2=-1\)
b) (1) 2 nghiệm phân biệt khi \(\Delta=2^2-4.\left(m-1\right)=8-4m>0\Leftrightarrow m< 2\)
Áp dụng hệ thức Viete cho (1) ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4.\left(m-m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2.\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(-2\right)^3-3.\left(-2\right).\left(m-1\right)-6.\left(m-1\right)=4.\left(m-m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\Leftrightarrow\left(m-2\right).\left(4m+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(\text{loại}\right)\\m=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m = -1 thì thỏa mãn ycbt
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
12 tháng 4 2023
Giải toán bằng cách lập phương trình:
Gọi vận tốc ca nô khi nước lặng là: \(x\) km/h ( \(x\) > 0)
Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: \(x\) + 5 ( km/h)
Thời gian ca nô xuôi dòng là: \(\dfrac{60}{x+5}\) (giờ)
Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: \(x\) -5 ( km/h)
Thời gian ca nô ngược dòng là: \(\dfrac{60}{x-5}\) ( giờ)
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\dfrac{60}{x+5}+\dfrac{60}{x-5}\) = 5 = \(\dfrac{60}{12}\)
⇒ \(\dfrac{1}{x+5}\) + \(\dfrac{1}{x-5}\) = \(\dfrac{1}{12}\)
⇒ 12 \(\times\) ( \(x+5+x-5\)) = (\(x\) + 5)(\(x-5\))
⇒ 12 \(\times\) 2\(x\) = \(x^2\) - 25
\(x^2\) - 25 - 24\(x\) = 0 ⇒ \(x^2\) - 24\(x\) - 25 = 0
ta có a - b + c = 1 - ( -24) - 25 = 0 ⇒ \(x\) = -1 ( loại); \(x\)= 25 ( thỏa mãn)
Vậy vận tốc ca nô khi nước lặng là 25 km/h
XO
12 tháng 4 2023
a) Với m = 0 phương trình (1) trở thành :
x2 + 2x - 3 = 0
Dễ thấy phương trình có dạng a + b + c = 0
nên (1) có 2 nghiệm \(x_1=1;x_2=-3\)
b) Phương trình (1) có nghiệm khi :
\(\Delta'=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-m^2+3=-2m+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m\le2\)
c) Áp dụng hệ thức Viete cho (1) ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(F=x_1^2+x_2^2+x_1+x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+x_1+x_2-2x_1x_2\)
\(=\left(2m-2\right)^2+2m-2-2.\left(m^2-3\right)\)
\(=2m^2-6m+8=\dfrac{4m^2-12m+16}{2}=\dfrac{\left(2m-3\right)^2+7}{2}\ge\dfrac{7}{2}\)
=> \(F_{min}=\dfrac{7}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> 2m - 3 = 0
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)(tm)
P = \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{x-3}{x-1}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}+1\right)-2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)+x-3}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-1\right).\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
2. Có : \(\dfrac{1}{P}=\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow P=\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=4\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)