Ta có: 

\(\left(x^2+2x\right)^2-\left(x^2+2x+1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-\left(x+1\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2+2x+x+1\right)\left(x^2+2x-x-1\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+x-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3x+1=0\\x^2+x-1=0\end{matrix}\right.\)

Tính delta giải các phương trình bậc 2 tìm nghiệm.

ĐKXĐ : \(0< x\le1\)

Ta có x⁴ + 2x³ + 2x² - 2x + 1 = (x³ + x).\(\sqrt{\dfrac{1-x^2}{x}}\)

<=> \(\left(x^4+2x^2+1\right)+\left(2x^3-2x\right)\) = x(x² + 1)\(\sqrt{\dfrac{1-x^2}{x}}\)

<=> (x² + 1)² - 2(x - x³) = (x² + 1)\(\sqrt{x-x^3}\)

<=> (x² + 1)² - (x² + 1)\(\sqrt{x-x^3}\) - 2(x - x³) = 0 

<=> (x² + 1 + \(\sqrt{x-x^3}\))(x² + 1 - 2\(\sqrt{x-x^3}\)) = 0 

<=> x² + 1 - 2\(\sqrt{x-x^3}\) = 0 (vì x² + 1 + \(\sqrt{x-x^3}\) > 0 \(\forall x\))

<=> x² + 1 = \(2\sqrt{x-x^3}\)

<=> x⁴ + 2x² + 1 = 4(x - x³)

<=> x⁴ + 4x³ + 2x² - 4x + 1 = 0

<=> x⁴ + 2x³ - x² + (2x³ + 4x² - 2x) - (x² + 2x - 1) = 0

<=> x²(x² + 2x - 1) + 2x(x² + 2x - 1) - (x² + 2x - 1) = 0

<=> (x² + 2x - 1)² =  0

<=> x² + 2x - 1 = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}-1\left(tm\right)\\x=-\sqrt{2}-1\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm S = {\(\sqrt{2}-1\)}

\(\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{y+2}=\dfrac{1}{2}\)

<=> \(\dfrac{\left(x+y+4\right)}{\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\dfrac{1}{2}\)

<=> \(2\left(x+y+4\right)=xy+2\left(x+y\right)+4\)

<=> \(xy=4\) <=> \(2\sqrt{xy}=4\) 

Áp dụng Bđt Cô-si 

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=4\)

P=\(\dfrac{4}{x+6}+\dfrac{9}{y+10}=\dfrac{2^2}{x+6}+\dfrac{3^2}{y+10}\ge\dfrac{\left(2+3\right)^2}{x+y+16}\ge\dfrac{25}{20}=\dfrac{5}{4}\) (vì x+y\(\ge\) 4)

Vậy minP = 4 <=> Dấu "=" xảy ra <=> x= y = 2

`5x^{2}+y^{2}+2xy-4x-40=0`

`<=>(x^{2}+2xy+y^{2})+(4x^{2}-4x+1)-41=0`

`<=>(x+y)^{2}+(2x-1)^{2}=41` \(=\left(\pm4\right)^2+\left(\pm5\right)^2\)

Do `x;y\in Z=>2x-1` là số lẻ 

Ta có bảng :

\(\begin{matrix}x+y&4&-4&4&-4\\2x-1&5&5&-5&-5\\x&3&3&-2&-2\\y&1&-7&6&-2\end{matrix}\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(3;1\right);\left(3;-7\right);\left(-2;6\right);\left(-2;-2\right)\)

\(5x^2+y^2+2xy-4x-40=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2+4x^2-4x+1-41=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(2x-1\right)^2=1\)

Vì x ; y là 2 số nguyên => \(\left(x+y\right)^2;\left(2x-1\right)^2\)là các số chính phương . \(\left(2x-1\right)^2\)là số chính phương lẻ .

Mặt khác : 41 = 25 + 16 = \(\left(\pm5^2\right)+\left(\pm4\right)^2\)

Ta có 4 trường hợp:

th1 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)

th2 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=4\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=6\end{matrix}\right.\)

th3 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-7\end{matrix}\right.\)

th4 : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-4\\2x-1=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-2\)

Lời giải:

a. $y=m+2(x+m)=2x+3m$ 

Hàm số trên có hệ số góc $2>0$ nên luôn đồng biến trên $R$

b. Để ĐTHS đi qua điểm có tọa độ $(1;1)$

$\Leftrightarrow 1=2.1+3m$

$\Leftrightarrow 1=2+3m$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{3}$

Ta có:

\(a^3+b^3+c^3=a+b+c+k^2-2k+1\\ \Leftrightarrow\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)=\left(k-1\right)^2\\ \)

Dễ thấy \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮3\) vì 3 số tự nhiên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 nên tích 3 số đó chia hết cho 3.

Tương tự ta cũng có: \(b^3-b⋮3;c^3-c⋮3\)

Bởi vậy \(\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)⋮3\\ \Rightarrow\left(k-1\right)^2⋮3\Rightarrow k-1⋮3.\)

Đầu kiện bài toán: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{3\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}\\ =\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{3\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(3\sqrt{x}-4\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{x}^2-\sqrt{x}-3\sqrt{x}+2^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

Sửa đề cho hợp lí:

\(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{3\sqrt{x}-4}{x-2\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)-3\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-3\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\dfrac{(\sqrt{x}-2)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

\(\sqrt{2}\)(\(\sqrt{3}\)+\(\sqrt{2}\))-\(\sqrt{3}\) (\(\sqrt{3}\) - \(\sqrt{2}\))

= \(\sqrt{6}\) + 2 - 3 + \(\sqrt{6}\)

= \(\sqrt{6}\)-1