gọi số trâu là x \(\left(con,x\in N\right)\)

số bò là y \(\left(con,y\in N,y< x\right)\)

số trâu nhiều hơn số bò là 4 con : x-y=4 (1)

có 10 con trâu và 10 con bò đang gặm cỏ . số còn lại nằm ngủ biết số trâu nằm ngủ gấp đôi số bò nằm ngủ \(\Rightarrow\)ta có phương trình

x-10=2(y-10) (2)

từ (1) và (2) ta có hpt \(\hept{\begin{cases}x-y=4\\x-10=2\left(y-10\right)\end{cases}}\)

giải hpt ta được \(\hept{\begin{cases}x=18\\y=14\end{cases}\left(Tm\right)}\)

vậy số trâu là 18 con 

số bò là 14 con

Mik nghĩ x=y=z=0 á :>

Gọi ba cạnh của ▲ là a,b,c>0
Giả sử cạnh huyền ▲ là a thì:
a² =b²+c² <=> b²+c²=13² =169 (1)
chu vi ▲ là 30 <=> a+b+c =30 <=> b+c = 30-13=17
<=> c= 17-b (2)
thay (2) vào (1) đc:
b² + (17-b)² =169 <=> b² -17b + 60 = 0
<=> (b-12)(b-5) = 0
<=> b=5 hoặc b=12
tương ứng c=12 và c=5
Vậy hai cạnh góc vuông dài 5m và 12m

a. Phương trình x2−2(m+1)x+m2−4m+3=0x2−2(m+1)x+m2−4m+3=0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Δ′≥0Δ′≥0 ⇔(m+1)2−(m2−4m+3)≥0⇔(m+1)2−(m2−4m+3)≥0 ⇔6m−2≥0⇔6m−2≥0 ⇔m≥13⇔m≥13

Vậy khi m≥13m≥13 thì phương trình đã cho có nghiệm

b. Phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

{Δ′>0P>0{Δ′>0P>0 ⇔{(m+1)2−(m2−4m+3)>0x1x2=m2−4m+3>0⇔{(m+1)2−(m2−4m+3)>0x1x2=m2−4m+3>0  ⇔⎧⎩⎨m>13m<1∨m>3⇔{m>13m<1∨m>3 ⇔⎡⎣13<m<1m>3⇔[13<m<1m>3

Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi 13<m<113<m<1 hoặc m>3m>3

c. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0P<0⇔m2−4m+3<0⇔m2−4m+3<0⇔1<m<3⇔1<m<3

d. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm khi và chỉ khi

⎧⎩⎨⎪⎪Δ′>0S<0P>0{Δ′>0S<0P>0⇔⎧⎩⎨⎪⎪(m+1)2−(m2−4m+3)>02(m+1)<0m2−4m+3>0⇔{(m+1)2−(m2−4m+3)>02(m+1)<0m2−4m+3>0 ⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪m>13m<−1m<1∨m>3⇔{m>13m<−1m<1∨m>3⇔⇔ vô nghiệm

Vậy không tồn tại giá trị mm để phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm âm

e. Phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

⎧⎩⎨⎪⎪Δ′>0S>0P>0{Δ′>0S>0P>0⇔⎧⎩⎨⎪⎪(m+1)2−(m2−4m+3)>02(m+1)>0m2−4m+3>0⇔{(m+1)2−(m2−4m+3)>02(m+1)>0m2−4m+3>0⇔⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪m>13m>−1m<1∨m>3⇔{m>13m>−1m<1∨m>3⇔⎡⎣13<m<1m>3⇔[13<m<1m>3

Vậy phương trình trên có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi 13<m<113<m<1 hoặc m>3m>3

Bài toán 2.  Cho phương trình 2x2−4x−3+m=02x2−4x−3+m=0 với xx là ẩn số và mm là tham số

1. Tìm mm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,x2x1,x2
2. Tìm mm để x21+x22=8x12+x22=8

Hướng dẫn giải       

a. Phương trình 2x2−4x−3+m=02x2−4x−3+m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2x1,x2khi và chỉ khi

Δ′>0Δ′>0 ⇔b2−ac>0⇔b2−ac>0 ⇔4−2(−3+m)>0⇔4−2(−3+m)>0 ⇔5−m>0⇔m<5⇔5−m>0⇔m<5

Vậy với m<5m<5 thì phương trình 2x2−4x−3+m=02x2−4x−3+m=0 có 2 nghiệm phân biệt

b. Xét phương trình 2x2−4x−3+m=02x2−4x−3+m=0 khi m<5m<5

Theo định lý Viet ta có ⎧⎩⎨S=x1+x2=2P=x1x2=−3+m2{S=x1+x2=2P=x1x2=−3+m2

Ta có: x21+x22=8x12+x22=8⇔(x1+x2)2−2x1x2=8⇔(x1+x2)2−2x1x2=8 ⇔4−(−3+m)=8⇔4−(−3+m)=8 ⇔m=−1⇔m=−1 (nhận)

Vậy với m=−1m=−1 thì x21+x22=8x12+x22=8

Bài toán 3. Cho phương trình x2+(m−3)x−3m=0x2+(m−3)x−3m=0 với mm là tham số và xx là ẩn số

1. Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi mm
2. Gọi x1,x2x1,x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm mm để x21+x22−x1x2=9x12+x22−x1x2=9

Hướng dẫn giải

a. Ta có: Δ=(m−3)2+12m=m2+6m+9=(m+3)2≥0∀mΔ=(m−3)2+12m=m2+6m+9=(m+3)2≥0∀m

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi mm(đpcm)
Theo định lý Viet ta có {S=x1+x2=3−mP=x1x2=−3m{S=x1+x2=3−mP=x1x2=−3m

Ta có x21+x22−x1x2=9x12+x22−x1x2=9

⇔(x1+x2)2−3x1x2=9⇔(x1+x2)2−3x1x2=9

⇔(3−m)2+9m=9⇔(3−m)2+9m=9

⇔m2+3m=0⇔m2+3m=0

⇔m(m+3)=0⇔m(m+3)=0

⇔[m=0m=−3⇔[m=0m=−3

Nhận xét.

Với m=0m=0 thì Δ>0Δ>0, suy ra phương trình x2+(m−3)x−3m=0x2+(m−3)x−3m=0có hai nghiệm phân biệt .

Với m=−3m=−3 thì Δ=0Δ=0, suy ra phương trình x2+(m−3)x−3m=0x2+(m−3)x−3m=0có hai nghiệm kép.

Bài toán 4. Cho phương trình x2−2mx+m−2=0x2−2mx+m−2=0 với mm là tham số và xx là ẩn số

1. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi mm
2. Gọi x1,x2x1,x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm mm để M=−48x21+x22−6x1x2M=−48x12+x22−6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

a.Ta có Δ=m2−(m−2)Δ=m2−(m−2) =m2−m+14+74=m2−m+14+74 =(m−12)2+74≥74>0∀m=(m−12)2+74≥74>0∀m

Suy ra phương trình x2−2mx+m−2=0x2−2mx+m−2=0 có hai nghiệm phân biệt với mọi mm(đpcm).

b. Theo định lý Viet ta có: {S=x1+x2=2mP=x1x2=m−2{S=x1+x2=2mP=x1x2=m−2

M=−48x21+x22−6x1x2M=−48x12+x22−6x1x2 =−48(x1+x2)2−8x1x2=−484m2−8(m−2)=−48(x1+x2)2−8x1x2=−484m2−8(m−2) latex=−48(2m−2)2+12latex=−48(2m−2)2+12

Ta có: (2m−2)2+12≥12∀m(2m−2)2+12≥12∀m

⇔1(2m−2)2+12≤112∀m⇔1(2m−2)2+12≤112∀m

⇔−48(2m−2)2+12≥−4∀m⇔−48(2m−2)2+12≥−4∀m

Suy ra Max(M)=−4Max(M)=−4. Dấu ”=””=” xảy ra khi và chỉ khi (2m−2)=0⇔m=1(2m−2)=0⇔m=1

Bài toán 5. Cho phương trình x2−mx−1=0x2−mx−1=0 với mm là tham số và xx là ẩn số

1. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
2. Gọi x1,x2x1,x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị M=x21+x1−1x1−x22+x2−1x2M=x12+x1−1x1−x22+x2−1x2

Hướng dẫn giải

a. Xét phương trình x2−mx−1=0x2−mx−1=0 (mm là tham số và xx là ẩn số) ta có: P=x1x2=−1<0∀mP=x1x2=−1<0∀m

Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu (đpcm)

b. M=x21+x1−1x1−x22+x2−1x2M=x12+x1−1x1−x22+x2−1x2

M=x1+1−1x1−x2−1+1x2M=x1+1−1x1−x2−1+1x2

M=(x1−x2)+x1−x2x1x2M=(x1−x2)+x1−x2x1x2

M=(x1−x2)(1+1x1x2)M=(x1−x2)(1+1x1x2)

Theo định lý Viet ta có: {S=x1+x2=mP=x1x2=−1{S=x1+x2=mP=x1x2=−1

Ta có: (x1−x2)2=x21+x22−2x1x2=(x1+x2)2−4x1x2(x1−x2)2=x12+x22−2x1x2=(x1+x2)2−4x1x2 =m2+4=m2+4 M2=(x1−x2)2(1+1x1x2)2=(m2+4)×0=0M2=(x1−x2)2(1+1x1x2)2=(m2+4)×0=0

Vậy M=0

Từ (2) ta thay a=-2x²-x+5 vào (1) ta được

4x³+3x²-7x+6=(x+2)(4x²-5x+3)=0

=> x=-2 => a=1

Thử lại với a=-1 thì (1) có nghiệm x₁=3; x₂=-2; (2) có nghiệm x₁=\(\frac{3}{2}\); x₂=-2(tm)

Vậy a=-1 và x=-2 là nghiệm chung