Từ bài toán, ta có sơ đồ:

Mẹ: |----|----|----|----|----|----|----|----|----|    |
                                                        |  30 tuổi
Con: |----|                                             |

Tổng số phần bằng nhau là:

\(9+1=10\left(\text{phần}\right)\)

Giá trị mỗi phần là:

\(30:10=3\left(\text{tuổi}\right)\)

Mẹ có số tuổi là:

\(3\cdot9=27\left(\text{tuổi}\right)\)

Con có số tuổi là:

\(30-27=3\left(\text{tuổi}\right)\)

Hiệu số tuổi 2 mẹ con không đổi và bằng:

\(27-3=24\left(tuổi\right)\)

Khi tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con, ta có sơ đồ:

Con: |----|
               | 24 tuổi
Mẹ: |----|----|----|

Hiệu số phần bằng nhau là:

\(3-1=2\left(\text{phần}\right)\)

Giá trị mỗi phần là:

\(24:2=12\left(\text{tuổi}\right)\)

Mẹ có số tuổi lúc đó là:

\(12\cdot3=36\left(\text{tuổi}\right)\)

Mất số năm để tuổi mẹ bằng tuổi con là:

\(36-27=9\left(năm\right)\)

Đáp số: 9 năm

Đa thức \(2x^3-x^2+ax+b\)(*) chia hết cho \(x^2-1\) nên hai đa thức này có cùng nghiệm: 

Ta có: \(x^2-1=0\Leftrightarrow x=\pm1\)

+) Do `x=1` là nghiệm nên thay \(x=1\) vào (*) thì (*) sẽ bằng 0 ta có:

\(2\cdot1^3-1^2+a\cdot1+b=0\) 

\(\Leftrightarrow2-1+a+b=0\)

\(\Leftrightarrow a+b=-1\Leftrightarrow a=-1-b\) (1) 

+) Do \(x=-1\) là nghiệm nên thay \(x=-1\) vào (*) thì (*) sẽ bằng 0 ta có:

\(2\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)^2+a\cdot\left(-1\right)+b=0\)

\(\Leftrightarrow-2-1-a+b=0\)

\(\Leftrightarrow b-a=3\) (2)

Thay (1) vào (2) ta có:

\(b-a=3\Leftrightarrow b-\left(-1-b\right)=3\)

\(\Leftrightarrow b+1+b=3\)

\(\Leftrightarrow2b=2\)

\(\Leftrightarrow b=1\) 

\(\Rightarrow a=-1-1=-2\)

Vậy: ... 

\(32m^27cm^2=320007cm^2\)

32m2 7cm2 = 30007 cm2

 Trước khi xem lời giải của mình thì bạn chú ý là trong đó có sử dụng những kí hiệu, thuật ngữ và tính chất khá khó hiểu với học sinh cấp II (thậm chí một vài bạn cấp III cũng chưa chắc đã hiểu thấu). Vì vậy nếu có gì khúc mắc trong lời giải thì bạn cứ nhắn tin riêng cho mình nhé. 

 Trước hết ta đến với các định nghĩa sau:

 Định nghĩa 1: Với điểm X nằm ngoài đường tròn (I), kí hiệu \(d_X\) là đường thẳng nối 2 tiếp điểm của 2 tiếp tuyến qua X ứng với (I).

 Định nghĩa 2: Còn với điểm (I) nằm trong đường tròn, nếu lấy điểm Y trên tia IX mà \(IY.IX=R^2\) thì d_X lại là đường thẳng qua Y và vuông góc với IX.

 Định nghĩa 3: Bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên 1 đường thẳng mà thỏa mãn \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{CB}{CD}\) thì ta kí hiệu \(\left(BDCA\right)=-1\) và nếu lấy một điểm O bất kì nằm ngoài đường thẳng đó thì ta kí hiệu \(O\left(BDCA\right)=\left(OB,OD,OC,OA\right)=-1\)

 Sau đây là một số tính chất: 

 Tính chất 1: \(d_X\perp IX\), hiển nhiên.

 Tính chất 2: \(Y\in d_X\Leftrightarrow X\in d_Y\) , cũng quá hiển nhiên.

 Tính chất 3: Từ một điểm X nằm ngoài I, vẽ cát tuyến XUV với U, V thuộc (I). Khi đó một điểm Y bất kì thuộc cát tuyến này mà thỏa mãn \(\left(UVYX\right)=-1\) \(\Leftrightarrow Y\in d_X\). 

 Tính chất 4: Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm trên đường thẳng d thỏa mãn \(\left(BDCA\right)=-1\) và 1 điểm O nằm ngoài d. Khi đó nếu vẽ 1 đường thẳng d' khác d cắt OA, OB, OC, OD lần lượt tại A', B', C', D' thì \(\left(B'D'C'A'\right)=-1\)

 Tính chất 5: Cho 4 điểm A, B, C, D nằm trên d và một điểm O nằm ngoài d. Khi đó kẻ một đường thẳng song song với một đường bất kì trong số OA, OB, OC, OD và cắt 3 đường còn lại tại M, N, P (N nằm giữa M và P). Khi đó M là trung điểm của NP \(\Leftrightarrow\left(BDCA\right)=-1\)

 Quay trở lại bài toán chính.

 Gọi M là trung điểm BC, K' là giao điểm của AM và EF. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại T.

 Ta sẽ chứng minh \(K'\equiv K\) hay D, E, K' thẳng hàng.

 Thật vậy, vì AT//BC và M là trung điểm BC nên theo tính chất 5\(\left(AB,AC,AM,AT\right)=-1\). Áp dụng tính chất 4, ta được \(\left(EFK'T\right)=-1\), điều này có nghĩa là \(T\in d_{K'}\) do tính chất 3.

 Hơn nữa, \(K'\in EF\equiv d_A\) nên \(A\in d_{K'}\) (tính chất 2). Do đó \(AT\equiv d_{K'}\) dẫn đến \(IK'\perp AT\) (tính chất 1).

 Do AT//BC nên \(IK'\perp BC\). Mà \(ID\perp BC\) nên D, I, K' thẳng hàng hay \(K'\equiv K\). Ta có đpcm. 

a) \(C=\left\{1,2,3,...,20\right\}\) hay \(C=\left\{n\inℕ^∗|n\le20\right\}\)

b) Số phần tử của không gian mẫu \(\left|\Omega\right|=20\)

Gọi A là biến cố: "Số được rút ra là số chia cho 2 và 3 đều có số dư là 1."

 Xét số \(a\) bất kì thỏa mãn \(a\equiv1\left[2\right]\) và \(a\equiv1\left[3\right]\). Khi đó \(a-1⋮2\) và \(a-1⋮3\). Do \(ƯCLN\left(2,3\right)=1\)  nên từ đây suy ra \(a-1⋮6\) hay \(a\equiv1\left[6\right]\).

 Ngược lại, nếu \(a\equiv1\left[6\right]\) thì \(a=6b+1\left(b\inℕ\right)\). Khi đó vì \(6b⋮2,6b⋮3\) nên \(a=6b+1\equiv1\left[2\right],\equiv1\left[3\right]\)

 Như vậy, \(\left\{{}\begin{matrix}a\equiv1\left[2\right]\\a\equiv1\left[3\right]\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a\equiv1\left[6\right]\)

 Do đó biến cố A tương đương với biến cố: "Số được rút ra chia 6 dư 1".

 Khi đó các kết quả thuận lợi cho A là \(1,7,13,19\)

 \(\Rightarrow\left|A\right|=4\)

 \(\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{4}{20}=\dfrac{1}{5}\)

a) \(C=\left\{x\in N\text{|}1\le x\le20\right\}\)

b) \(BCNN\left(2,3\right)=6\)

Vậy các số đó là \(6\cdot1+1=7\),\(6\cdot2+1=13\),\(6\cdot3+1=19\)

Xác suất biến cố đó là: \(\dfrac{3}{20}=0,15\)

- \(\dfrac{3}{7}\) + \(\dfrac{5}{13}\) - \(\dfrac{4}{7}\) + \(\dfrac{8}{13}\)

= -(\(\dfrac{3}{7}\) + \(\dfrac{4}{7}\)) + (\(\dfrac{5}{13}\) + \(\dfrac{8}{13}\))

= - 1 + 1

= 0 

a, Có -49/211<0;0<13/1999

=>-49/211<13/1999

b,có 311/256>1 và 1>199/203

=>311/256>199/203

c,Có 1-26/27=1/27

Và 1-96/97=1/97

mà 1/27>1/97=>26/27>96/97

Bài 1:

\(a.\) \(\dfrac{5}{12}\) và \(\dfrac{-4}{9}\)

Mẫu số chung của 2 phân số: \(36.\)

Ta có:

\(\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot3}{12\cdot3}=\dfrac{15}{36};\dfrac{-4}{9}=\dfrac{-4\cdot4}{9\cdot4}=\dfrac{-16}{36}\)

\(b.\) \(\dfrac{-7}{15}\) và \(\dfrac{5}{12}\)

Mẫu số chung của hai phân số: \(60.\)

Ta có:

\(\dfrac{-7}{15}=\dfrac{-7\cdot4}{15\cdot4}=\dfrac{-28}{60};\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot5}{12\cdot5}=\dfrac{25}{60}\)

\(c.\)\(\dfrac{1}{5};\dfrac{-2}{3}\) và \(\dfrac{7}{10}\)

Mẫu số chung của 3 phân số: \(30.\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{5}=\dfrac{1\cdot6}{5\cdot6}=\dfrac{6}{30};\dfrac{-2}{3}=\dfrac{-2\cdot10}{3\cdot10}=\dfrac{-20}{30};\dfrac{7}{10}=\dfrac{7\cdot3}{10\cdot3}=\dfrac{21}{30}\)

Bài 1:

a)

Mẫu số chung 2 phân số: 36

\(\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot3}{12\cdot3}=\dfrac{15}{36}\)

\(\dfrac{-4}{9}=\dfrac{-4\cdot4}{9\cdot4}=\dfrac{-16}{36}\)

b)

Mẫu số chung 2 phân số: 60

\(\dfrac{-7}{15}=\dfrac{-7\cdot4}{15\cdot4}=\dfrac{-28}{60}\)

\(\dfrac{5}{12}=\dfrac{5\cdot5}{12\cdot5}=\dfrac{25}{60}\)

c) Mẫu số chung 3 phân số: \(75\)

\(\dfrac{-4}{-75}=\dfrac{-4\cdot\left(-1\right)}{-75\cdot\left(-1\right)}=\dfrac{4}{75}\)

\(\dfrac{-3}{5}=\dfrac{-3\cdot15}{5\cdot15}=-\dfrac{45}{75}\)

\(\dfrac{8}{25}=\dfrac{8\cdot3}{25\cdot3}=\dfrac{24}{75}\)

Bài 2:

a) Rút gọn:

\(\dfrac{-15}{50}=\dfrac{-15:5}{50:5}=\dfrac{-3}{10}\)

\(\dfrac{9}{10}=\dfrac{9:1}{10:1}=\dfrac{9}{10}\)

\(\dfrac{26}{-30}=\dfrac{26:-2}{-30:-2}=\dfrac{-13}{15}\)

Mẫu số chung 3 phân số: 30

\(\dfrac{-3}{10}=\dfrac{-3\cdot3}{10\cdot3}=\dfrac{-9}{30}\)

\(\dfrac{9}{10}=\dfrac{9\cdot3}{10\cdot3}=\dfrac{27}{30}\)

\(\dfrac{-13}{15}=\dfrac{-13\cdot2}{15\cdot2}=\dfrac{-26}{30}\)

b)

Rút gọn:

\(\dfrac{-5}{-15}=\dfrac{-5:\left(-5\right)}{-15:\left(-5\right)}=\dfrac{1}{3}\)

Mẫu số chung 3 Phân số: 510

\(\dfrac{7}{10}=\dfrac{357}{510};\dfrac{1}{3}=\dfrac{170}{510};\dfrac{3}{17}=\dfrac{90}{510}\)

c) Mẫu số chung 3 phân số: 75

\(\dfrac{-4}{-75}=\dfrac{4}{75};\dfrac{-3}{5}=-\dfrac{45}{75};\dfrac{8}{25}=\dfrac{24}{75}\)

Bài 3:

a) rút gọn:

\(\dfrac{42}{63}=\dfrac{42:21}{63:21}=\dfrac{2}{3}\)

\(\dfrac{60}{72}=\dfrac{60:12}{72:12}=\dfrac{5}{6}\)

Mẫu số chung 2 phân số: 6

\(\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\cdot2}{3\cdot2}=\dfrac{4}{6}\)

Vì \(4< 5\) nên\(\dfrac{4}{6}< \dfrac{5}{6}\)

Vậy \(\dfrac{42}{63}< \dfrac{60}{72}\)

b) rút gọn:

\(\dfrac{34}{-119}=\dfrac{34:-17}{-119:-17}=\dfrac{-2}{7}\)

\(\dfrac{-93}{248}=\dfrac{-93:31}{248:31}=\dfrac{-3}{8}\)

Ta có: 

Mẫu số chung 2 phân số: 56

\(\dfrac{-2}{7}=\dfrac{-2\cdot8}{7\cdot8}=\dfrac{-16}{56}\)

\(\dfrac{-3}{8}=\dfrac{-3\cdot7}{8\cdot7}=\dfrac{-21}{56}\)

Vì \(-16>-21\) nên\(\dfrac{-16}{56}>\dfrac{-21}{56}\)

Vậy \(\dfrac{34}{-119}>\dfrac{-93}{248}\)