*Không vẽ được hình, bạn thông cảm*

Gọi O' là điểm trên IO sao cho \(IO'=\frac{1}{3}IO\)

Xét \(\Delta\)IAO có: \(\frac{IA'}{IA}=\frac{IO'}{IO}\left(=\frac{1}{3}\right)\Rightarrow O'A'//OA\) (định lý Talet đảo)

Do đó: \(\frac{O'A'}{OA}=\frac{IA'}{IA}=\frac{1}{3}\Rightarrow O'A'=\frac{1}{3}R\)

Cmtt ta được: \(O'B'=\frac{1}{3}R;O'C'=\frac{1}{3}R;O'D'=\frac{1}{3}R\)

Vì OI _|_ AB tại I, OK _|_ AC tại K. Do đó: \(AI=AK=\frac{a}{2}\)

Trên tia đối của tia IA lấy F sao cho IF=EK

Đặt AD=x, AE=y

Chứng minh được \(DE=\sqrt{x^2+y^2-xy}\)

Ta có: \(\frac{1}{BD}+\frac{1}{CE}=\frac{3}{a}\Rightarrow\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}=\frac{3}{a}\)

=> a²-2(x+y)a+3xy=0

Từ gt có: x+y < a; a=x+y+\(\sqrt{x^2+y^2-xy}\)

AI+AK=AD+AE+DE; DI+EK=DE

DF=DE => OI=OH => AB=MN

Từ đó chứng minh BMNC là hình thang cân

Ta có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a thì \(R=\frac{a\sqrt{3}}{a}\) (*)

Dựng 2 tam giác đều BDF và CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó \(\widehat{BFD}=\widehat{BED}=60^0;\widehat{CGD}=\widehat{CED}=60^o\)

=> BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp 

Nên R₁;R₂ lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đềuy BDF và CDG

Theo (*) ta có: \(R_1=\frac{BD\sqrt{3}}{3};R_2=\frac{CD\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R_1R_2=\frac{BD\cdot CD}{3}\)

Mặt khác \(\left(BD+CD\right)^2\ge4\cdot BD\cdot CD\)

=> BD.CD\(\le\frac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow R_1R_2\le\frac{R^2}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

BD=CD, nghĩa là R₁;R₂ đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{R^2}{4}\) khi D là trung điểm BC

Giả sử AB là 1 cạnh của hình tám cạnh đều, gọi AB=a.

Vẽ AK là đường co của tam giác OAB

Ta có: \(\widehat{AOB}=\frac{360^o}{8}=45^o\Rightarrow OK=AK=\sin45^o=\frac{OA\sqrt{2}}{2}=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

Nên KB=OB-OK=\(\frac{R\sqrt{2}}{2}-R=R\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)\)

Xét tam giác KAB vuông tại K, theo định lý Pytago ta có:

\(AB^2=AK^2+KB^2=\left(\frac{R\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left[R\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right)\right]^2\)

\(AB^2=R^2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\sqrt{2}+1\right)\)

\(\Rightarrow AB^2=\left(2-\sqrt{2}\right)R^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{2-\sqrt{2}}R\)