Lời giải:

a.

 \(A=\frac{2x}{x+3}+\frac{x+1}{x-3}+\frac{3-11x}{9-x^2}=\frac{2x(x-3)}{(x+3)(x-3)}+\frac{(x+1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}+\frac{11x-3}{(x-3)(x+3)}\)

\(=\frac{2x^2-6x+x^2+4x+3+11x-3}{(x-3)(x+3)}=\frac{3x^2+9x}{(x-3)(x+3)}\\ =\frac{3x(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{3x}{x-3}\)

b. Khi $x=5$ thì:

$A=\frac{3.5}{5-3}=\frac{15}{2}$

c.

Với $x$ nguyên, để $A$ nguyên thì $3x\vdots x-3$

$\Rightarrow 3(x-3)+9\vdots x-3$

$\Rightarrow 9\vdots x-3$

$\Rightarrow x-3\in \left\{\pm 1; \pm 3; \pm 9\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{4; 2; 0; 6; 12; -6\right\}$ (tm)

Lời giải:

a. 

\(B=\frac{4x(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{2x}{(x-1)(x+1)}\\ =\frac{4x(x-1)-x(x+1)+2x}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x}{x+1}\)

\(P=AB=\frac{x-2}{x}.\frac{3x}{x+1}=\frac{3(x-2)}{x+1}\)

b.

Để $P$ là số tự nhiên thì $\frac{3(x-2)}{x+1}\in\mathbb{Z}$ và $x-2>0$

$\Rightarrow 3(x-2)\vdots x+1$ và $x>2$

$\Rightarrow 3(x+1)-9\vdots x+1$ và $x>2$

$\Rightarrow 9\vdots x+1$ và $x>2$

$\Rightarrow x+1=9$

$\Rightarrow x=8$

Khi đó: $P=\frac{3(8-2)}{8+1}=2$

c.

$P=\frac{3(x-2)}{x+1}=m$ có nghiệm dương duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{3x-6-mx-m}{x+1}=0$ có nghiệm dương duy nhất

$\Leftrightarrow \frac{x(3-m)-(m+6)}{x+1}=0$ có nghiệm dương duy nhất

$\Leftrightarrow x(3-m)=m+6$ có nghiệm dương duy nhất

Điều này xảy ra khi $3-m\neq 0$ và $\frac{m+6}{3-m}>0$

$\Leftrightarrow m\neq 3$ và $-6< m< 3$

$\Leftrightarrow -6< m< 3$

Với x ≠ 0; x ≠ 1, ta có:

(1 - x²)/[x(x - 1)]

= -(x - 1)(x + 1)/[x(x - 1)]

= -(x + 1)/x

a.

\(A=\dfrac{3\left(6n+1\right)}{7\left(3n+1\right)}\)

Gọi \(d=ƯC\left(3n+1;6n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2\left(3n+1\right)-\left(6n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow3n+1\) và \(6n+1\) nguyên tố cùng nhau

Đồng thời ta có \(3n+1\) luôn chia 3 dư 1 nên \(3n+1\) và 3 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow\) A rút gọn được khi và chỉ khi \(6n+1⋮7\)

\(\Rightarrow6n+1=7k\)

\(\Rightarrow6n-6=7k-7\)

\(\Rightarrow6\left(n-1\right)=7\left(k-1\right)\)

Do 6 và 7 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow n-1⋮7\)

\(\Rightarrow n-1=7m\)

\(\Rightarrow n=7m+1\)

Vậy phân số đã cho rút gọn được khi n có dạng \(n=7m+1\) với \(m\in Z\)

Cíu mình vớiii :((

Phân thức này đã tối giản rồi, không rút gọn được nữa nên bạn xem lại đề nhé.

Phân số tối giản => Không rút gọn được.

\(B=\dfrac{3}{x-3}\)

b.

+/Để \(B>0\Rightarrow\dfrac{3}{x-3}>0\)

\(\Rightarrow x-3>0\) (do \(3>0\))

\(\Rightarrow x>3\)

+/Để \(B< 0\Rightarrow\dfrac{3}{x-3}< 0\Rightarrow x-3< 0\)

\(\Rightarrow x< 3\)

Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 3\\x\ne-3\end{matrix}\right.\)

a) Để D nhận giá trị nguyên, thì:
-x ⋮ x - 2
⇒ x - 2 - x ⋮ x - 2
⇒ -2 ⋮ x - 2
⇒ x - 2 ϵ {1;-1;2;-2}
Lập bảng:

Vậy nếu x ϵ {3; 1; 4; 0} thì D nhận giá trị nguyên

c) Để D > 0, thì:
x - 2; -x cùng dấu
mà x > 0
⇒ -x < 0
⇒ x - 2 < 0
⇒ 0 < x < 2
Vậy nếu 0 < x < 2 thì D > 0