Chứng tỏ 0<Q<2 nha

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+1=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\)

\(P+1=\frac{x^2+x+1}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{x^2+2x+1-x}{x+\sqrt{x}+1}=\frac{\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}=x-\sqrt{x}+1\ge\frac{3}{4}\)

Câu b: Xet tg vuông AEH và tg vuông ABC có

^BAH = ^ACB (cùng phụ với ^ABC)

=> Tg AEH đồng dạng với tg ABC \(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{EH}{AB}\) mà EH=AF (cạnh đối HCN)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{AB}\Rightarrow AE.AB=AF.AC\)

Câu c: 

Ta có AM=BC/2==BM=CM (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

=> tg AMC cân tại M => ^MAC = ^ACB mà  ^BAH = ^ACB (cmt)  => ^MAC = ^BAH (1)

Ta có ^AHE = ^ABC (cùng phụ với ^BAH) mà ^AHE = ^HAC (góc so le trong) => ^ABC = ^HAC (2)

Gọi giao của AH với EF là O xét tg AOF  có

AH=EF (hai đường chéo HCN = nhau) 

O là trung điểm của AH vào EF 

=> OA=OF => tg AOF cân tại O => ^HAC = ^AFE (3)

Từ (2) và (3) => ^AFE = ^ABC (4)

Mà ^ABC + ^ACB = 90 (5)

Từ (1) (4) (5) => ^MAC + ^AFE = 90

Xét tg AKF có ^AKF = 180 - (^MAC + ^AFE) = 180-90=90 => AM vuông góc EF tại K

\(A=\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x+4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(x+8\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

1) \(A=\left(\frac{x^3-1}{x-1}+x\right)\times\left(\frac{x^3+1}{x+1}-x\right)\)( vầy hả ? )

ĐKXĐ : \(x\ne\pm1\)

\(=\left[\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x-1}+x\right]\times\left[\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x+1}-x\right]\)

\(=\left(x^2+x+1+x\right)\left(x^2-x+1+x\right)\)

\(=\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right)\)

2) Gọi tử số của phân số đó là x ( x ∈ Z )

=> Mẫu số của phân số đó là x + 5

=> Phân số cần tìm có dạng \(\frac{x}{x+5}\)

Thêm 1 vào tử thì ta có phân số = 1/2

=> Ta có phương trình : \(\frac{x+1}{x+5}=\frac{1}{2}\)( ĐKXĐ : x \(x\ne-5\))

                              <=> ( x + 1 ).2 = ( x + 5 ).1

                              <=> 2x + 2 = x + 5

                              <=> 2x - x = 5 - 2

                              <=> x = 3 ( tmđk )

=> Phân số cần tìm là \(\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}\)

3) Q = x² + y² - 6x + 8y + 19

        = ( x² - 6x + 9 ) + ( y² + 8y + 16 ) - 6 

        = ( x - 3 )² + ( y + 4 )² - 6 ≥ -6 ∀ x, y

Đẳng thức xảy ra <=> x = 3 ; y = -4

=> MinQ = -6 <=> x = 3 ; y = -4

K = \(\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{x^2-16x+64}+100\)

Ta có hẳng đẳng thức \(\sqrt{a^2}=\left|a\right|\)

\(=\sqrt{\left(x-3\right)^2}+\sqrt{\left(x-8\right)^2}+100\)

\(=\left|x-3\right|+\left|x-8\right|+100\)

\(=\left|x-3\right|+\left|8-x\right|+100\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)ta có :

\(K=\left|x-3\right|+\left|8-x\right|+100\ge\left|x-3+8-x\right|+100=\left|5\right|+100=105\)

Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0\)

=> \(\left(x-3\right)\left(8-x\right)\ge0\)

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}x-3\ge0\\8-x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\-x\ge-8\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge3\\x\le8\end{cases}}\Leftrightarrow3\le x\le8\)

2. \(\hept{\begin{cases}x-3\le0\\8-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le3\\-x\le-8\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le3\\x\ge8\end{cases}}\)( loại )

=> MinK = 105 <=> \(3\le x\le8\)

Xét:  \(x=2+\sqrt{3}\Rightarrow x^2=7+4\sqrt{3}\Rightarrow x^2-4x+1=0\)

\(A=\frac{\sqrt{x^4-2x^3+3x^2-38x+5}}{\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{\sqrt{\left(x^4-4x^3+x^2\right)+\left(2x^3-8x^2+2x\right)+\left(10x^2-40x+10\right)-5}}{\sqrt{x^2-4x+1+4}}\)

\(=\frac{\sqrt{-5}}{2}\)???????????????????? 

\(M=\frac{\sqrt{x-\sqrt{4\left(x-1\right)}}+\sqrt{x+\sqrt{4\left(x-1\right)}}}{\sqrt{x^2-4\left(x-1\right)}}\cdot\left(1-\frac{1}{x-1}\right)\)

\(M=\frac{\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}}{\sqrt{x^2-4x+4}}\cdot\frac{x-1-1}{x-1}\)

\(M=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}}{\sqrt{\left(x-2\right)^2}}\cdot\frac{x-2}{x-1}\) (đk: \(x\ge1\)

\(M=\frac{\left|\sqrt{x-1}-1\right|+\left|\sqrt{x-1}+1\right|}{\left|x-2\right|}\cdot\frac{x-2}{x-1}\)

Nếu \(1\le x< 2\) =>\(M=\frac{1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+1}{2-x}\cdot\frac{x-2}{x-1}\)

\(M=-\frac{2}{x-1}\)

Nếu x > 2 => \(M=\frac{\sqrt{x-1}-1+\sqrt{x-1}+1}{x-2}\cdot\frac{x-2}{x-1}\)

\(\frac{2\sqrt{x-1}}{x-1}=\frac{2}{\sqrt{x-1}}\)

\(A=\frac{x+\sqrt{x^2-2x}}{x-\sqrt{x^2-2x}}-\frac{x-\sqrt{x^2-2x}}{x+\sqrt{x^2+2x}}\)

\(=\frac{\left(x+\sqrt{x^2-2x}\right)^2-\left(x-\sqrt{x^2-2x}\right)^2}{x^2-\left(\sqrt{x^2-2x}\right)^2}\)

\(=\frac{x^2+x^2-2x+2x\sqrt{x^2-2x}-\left(x^2+x^2-2x-2x\sqrt{x^2-2x}\right)}{x^2-\left(x^2-2x\right)}\)

\(=\frac{2x^2-2x-2x^2+2x+2x\sqrt{x^2-2x}+2x\sqrt{x^2-2x}}{2x}\)

\(=\frac{4x\sqrt{x^2-2x}}{2x}=2\sqrt{x^2-2x}\)

ko bt làm xuống lớp 8 đê

\(tana\cdot cota=1\) 

\(tana\cdot\frac{2}{3}=1\) 

\(tana=\frac{3}{2}\) 

\(1+tan^2a=\frac{1}{cos^2a}\) 

\(1+\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{1}{cos^2a}\) 

\(1+\frac{9}{4}=\frac{1}{cos^2a}\) 

\(\frac{13}{4}=\frac{1}{cos^2a}\) 

\(cos^2a=\frac{4}{13}\)  

\(cosa=\frac{2\sqrt{13}}{13}\) ( cấp 2 nên chỉ lấy cos dương ) 

\(sin^2a+cos^2a=1\) 

\(sin^2a+\frac{4}{13}=1\) 

\(sin^2a=\frac{9}{13}\) 

\(sin^2a+cos^3a-tana\) 

\(=\frac{9}{13}+\frac{4\sqrt{13}}{13}-\frac{3}{2}\) 

\(=\frac{18}{26}+\frac{8\sqrt{13}}{26}-\frac{39}{26}\) 

\(=\frac{-21+8\sqrt{13}}{26}\)