a) Ta có MH//AC \(\left(\perp AB\right)\) nên \(\Delta BMH\sim\Delta BAC\)

\(\Rightarrow\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{MH}{AC}\) \(\Rightarrow BM.AC=BA.MH\)

Tam giác ABH vuông tại H có đường cao HM 

\(BA.MH=HB.HA\)     

Tương tự, ta có: \(CN.AB=HC.HA\)

Cộng theo vế 2 hệ thức trên, ta được:

\(BA.MH+CN.AB=HB.HA+HC.HA=HA\left(HB+HC\right)=AH.BC\)

Ta có đpcm.

b) Tam giác ABH vuông tại H có đường cao HM nên \(AM.BM=MH^2\).

 Tương tự, ta có \(AN.CN=HN^2\)

 Do đó \(VT=AM.BM+AN.CN=MH^2+HN^2\)

 Dễ thấy tứ giác AMHN là hình chữ nhật nên \(MH^2+HN^2=MN^2=AH^2\)

 Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên \(AH^2=BH.CH\)

 Từ đó suy ra \(VT=BH.CH=VP\)

 Vậy đẳng thức được chứng minh.

 c) Xét hệ trục tọa độ Axy với A là gốc tọa độ, \(Ax\equiv AC,Ay\equiv AB\)

 Khi đó đặt \(B\left(0;b\right)\), \(C\left(c;0\right)\)

 Khi đó phương trình đường thẳng \(BC:y=-\dfrac{b}{c}x+b\)

 \(\Rightarrow\) Phương trình đường thẳng \(AH:y=\dfrac{c}{b}x\)

 Khi đó hoành độ của điểm H chính là nghiệm của pt hoành độ giao điểm của AH và BC: \(\dfrac{c}{b}x_0=-\dfrac{b}{c}x_0+b\)

 \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)x_0=b\) 

 \(\Leftrightarrow\left(\dfrac{c^2+b^2}{bc}\right)x_0=b\) 

 \(\Leftrightarrow x_0=\dfrac{cb^2}{b^2+c^2}\) 

 \(\Rightarrow y_0=\dfrac{c}{b}x_0=\dfrac{c}{b}.\dfrac{cb^2}{b^2+c^2}=\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}\)

 Vậy \(H\left(\dfrac{cb^2}{b^2+c^2},\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}\right)\)

 Vì M là hình chiếu của H lên trục Oy \(\Rightarrow M\left(0,\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}\right)\)

 Tương tự \(\Rightarrow N\left(\dfrac{cb^2}{b^2+c^2},0\right)\)

 Khi đó \(BM=BA-MA=b-\dfrac{bc^2}{b^2+c^2}=\dfrac{b^3+bc^2-bc^2}{b^2+c^2}=\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\)

\(CN=CA-NA=c-\dfrac{cb^2}{b^2+c^2}=\dfrac{cb^2+c^3-cb^2}{b^2+c^2}=\dfrac{c^3}{b^2+c^2}\)

 \(\Rightarrow\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{\dfrac{b^3}{b^2+c^2}}{\dfrac{c^3}{b^2+c^2}}=\dfrac{b^3}{c^3}=\left(\dfrac{b}{c}\right)^3=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

 \(\Rightarrow\sqrt[3]{\dfrac{MB}{NC}}=\dfrac{AB}{AC}\) (đpcm)

Để pt có nghiệm duy nhất thì: \(-\dfrac{2}{m}\ne\dfrac{1}{1}\Leftrightarrow m\ne-2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+y=-3m-1\\mx+y=m^2+m+3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+2\right)y=m^2+m+3+3m+1\\-2x+y=-3m-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{m^2+4m+4}{m+2}\\-2x+y=-3m-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{\left(m+2\right)^2}{m+2}=m+2\\-2x+\left(m+2\right)=-3m-1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=m+2\\2x=m+2+3m+1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=m+2\\2x=4m+3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=m+2\\x=\dfrac{4m+2}{2}\end{matrix}\right.\) 

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\y>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4m+2}{3}>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m>-2\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-\dfrac{1}{2}\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\\4x+my=6\end{matrix}\right.\) (1)

Để hpt có nghiệm thì: \(\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m\ne\pm2\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2x+my=3m\\4x+my=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-4\right)x=3m-6\\mx+y=3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m-6}{m^2-4}=\dfrac{3}{m+2}\\\dfrac{3m}{m+2}+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{m+2}\\y=3-\dfrac{3m}{m+2}=\dfrac{6}{m+2}\end{matrix}\right.\)

Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}x_o>2\\y_o>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+2}>2\\\dfrac{6}{m+2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2< m< -\dfrac{1}{2}\\m>-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-2< m< -\dfrac{1}{2}\)

6B.

a) Số tiền người sử dụng phải trả nếu đăng kí gói Internet 6 tháng là:

\(C\left(6\right)=70.6+300=720\) (nghìn đồng)

b) Nếu người sử dụng phải thanh toán số tiền cước phí sử dụng Internet là 930 nghìn đồng thì:

\(C\left(x\right)=930\)

\(\Rightarrow70x+300=930\)

\(\Leftrightarrow70x=630\)

\(\Leftrightarrow x=9\)

Vậy thời hạn sử dụng gói cước Internet của người đó là 9 tháng.

6A.

a) Giá tiền của một chiếc ấm đun nước có bán kính đáy ấm 28cm là:

\(\dfrac{11}{8}.28+150=188,5\) (nghìn đồng)

b) Giá tiền của cô Trinh phải trả là:

\(\left(\dfrac{11}{8}.24+150\right)+\left(\dfrac{11}{8}.32+150\right)=377\) (nghìn đồng)

Vì \(400>377\) nên cô Trinh đã mang đủ tiền để trả.

5B.

Gọi số thùng bánh tổ I, tổ II sản xuất được trong tuần thứ nhất lần lượt là \(x,y\) (thùng bánh; \(x,y\in\mathbb{N}^*;x,y<900\))

Vì trong tuần thứ nhất cả hai tổ sản xuất được 900 thùng bánh nên ta có phương trình: \(x+y=900\) (1)

Số thùng bánh tổ I sản xuất được trong tuần thứ hai là: \(x\left(100\%+25\%\right)=1,25x\) (thùng bánh)

Số thùng bánh tổ II sản xuất được trong tuần thứ hai là: \(95\%y=0,95y\)

Vì sang tuần thứ hai cả hai tổ sản xuất được 975 thùng bánh nên ta có phương trình: \(1,25x+0,95y=975\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=900\\1,25x+0,95y=975\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=400\left(tm\right)\\y=500\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

Bạn nên ghi hẳn đề ra để mọi người hỗ trợ nhanh hơn nhé.

Ta có: \(\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow AC=AB\cdot\dfrac{3}{4}=12\cdot\dfrac{3}{4}=9\) (cm)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

\(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow BC^2=12^2+9^2=225\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{225}=15\) (cm) (vì BC>0)

Khi đó: \(\tan B=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\widehat{B}\approx37^{\circ}\)

\(x^2-x\left(m+2\right)+2m=0\)

De pt co 2 nghiem phan biet khi delta > 0 

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4.2m=m^2+4m+4-8m=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Ma (m-2)^2 >= 0 voi moi x 

=> m - 2 \(\ne0\Rightarrow m\ne2\)

\(x^2-2x-mx+2m=0\)

\(x^2-\left(2+m\right)x+2m=0\)

\(\Delta=\left[-\left(2+m\right)\right]^2-4.1.2m\)

\(=4+4m+m^2-8m\)

\(=m^2-4m+4\)

\(=\left(m-2\right)^2\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

\(\left(m-2\right)^2>0\)

\(m-2\ne0\)

\(m\ne2\)

Vậy \(m\ne2\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

                            Giải:

Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là: \(x\) (m); \(x\) > 0

Chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là: \(x\) x 2 = 2\(x\) (m)

Chiều dài của cái ao là: 2\(x\) - 1 x 2  = 2\(x\) - 2 (m)

Chiều rộng của cái ao là: \(x\) - 1 x 2 = \(x\) - 2 (m)

Diện tích của cái ao là: (2\(x\) - 2) x (\(x\) - 2)

Theo bài ra ta có phương trình:

  (2\(x\) - 2) x (\(x-2\)) = 60

   2\(x^2\) - 4\(x\) - 2\(x\) + 4 = 60

   2\(x^2\) - (4\(x\) + 2\(x\)) + 4 = 60

  2\(x^2\) - 6\(x\) + 4 - 60  = 0

   2\(x^2\) - 6\(x\) - 56 = 0 

   \(\Delta^,\) = 3²  - (- 56)x 2 = 121 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm lần lượt là:

   \(x_1\) = (3 + \(\sqrt{121}\)) : 2 = 7

   \(x_2\) = (3 - \(\sqrt{121}\)): 2 = - 4 < 0 (loại)

Vậy \(x\) = 7

Chiều rộng của mảnh đất là: 7m

Chiều dài của mảnh đất là: 7 x 2 = 14 (m)

Kết luận các kích thước của mảnh đất là chiều rộng 7m; chiều dài 14m